Eine Geradengleichung ist eine Gleichung in der Mathematik, die eine Gerade eindeutig beschreibt. Die Gerade besteht aus all den Punkten, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen. In einem kartesischen Koordinatensystem werden jedem Punkt P der Ebene zwei Zahlen x und y als Koordinaten zugeordnet. Eine Gleichung mit den Variablen x und y beschreibt dann eine Menge von Punkten in der Ebene und zwar die Menge aller Punkte, deren x- und y-Koordinate die →Gleichung erfüllen.

Bei der Hauptform der Geraden sind die Steigung m oder k der Geraden und der Ordinatenabschnitt der Geraden gegeben. Man nennt diese Darstellungsform auch die explizite Form der Geraden. Dabei handelt es sich um eine lineare Funktion also eine vektorfreie Form der Geraden.

Wie ist eine Geradengleichung definiert?

Die zugehörige Geradengleichung lautet dann y = m⋅x+n häufig auch als y = k⋅x+d. Die Parameter m und n der Geradengleichung haben eine geometrische Bedeutung. Die Zahl m ist die Steigung der Geraden und entspricht der senkrechten Kathete des →Steigungsdreiecks, dessen waagrechte Kathete die Länge 1 aufweist. Die Zahl n ist der y-Achsenabschnitt, das heißt die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt (0,n). Ist n = 0, so verläuft die Gerade als Ursprungsgerade durch den →Koordinatenursprung und die zugehörige Funktion ist dann eine Proportionalität.

Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen, sind keine Funktionsgraphen. Sie lassen sich durch eine Gleichung der Form x=a darstellen, wobei a eine reelle Zahl ist. Eine solche Gerade schneidet die x-Achse im Punkt (a,0).

Die Zweipunkteform oder Zwei-Punkte-Form ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung. In der Zweipunkteform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder im euklidischen Raum mit Hilfe zweier Punkte der Geraden dargestellt. Die Koordinatendarstellung einer Gerade in der Ebene erfolgt in der Zweipunkteform mit Hilfe des Steigungsdreiecks der Geraden. In Vektordarstellung dient der Ortsvektor eines der beiden Punkte als Stützvektor der Gerade, während der Differenzvektor zu dem Ortsvektor des anderen Punkts den Richtungsvektor der Gerade bildet.

Verläuft die Gerade durch zwei Punkte dann kann die Steigung m der Geraden mit Hilfe des →Differenzenquotienten berechnet werden.

Um quadratische Gleichungen in allgemeiner Form zu lösen, verwendest du die Mitternachtsformel (auch abc-Formel genannt) oder große Lösungsformel. Wenn die quadratische Gleichung in Normalform gegeben ist, kannst du die p-q-Formel oder kleine Lösungsformel anwenden. Kommt die Variable in einer Gleichung in der 1. und 2. Potenz ( x und x² ) vor, nennt man sie „gemischt quadratische Gleichung“. Kommt in einer Gleichung die Variable in der 2. Potenz (x²) vor , nennt man sie „rein quadratische Gleichung“

quadratische Gleichungen sind  →Gleichungen, die sich in der Form

mit  a ≠ 0 schreiben lassen.

Die Koeffizienten von quadratischen Gleichungen können beliebige reelle Zahlen sein (mit der einzigen Einschränkung, dass a nicht Null sein darf). Um den Umgang mit quadratischen Gleichungen zu lernen, werden oft vorwiegend Beispiele herangezogen, bei denen die Koeffizienten ganzzahlig sind.

Dabei heißt ax² quadratisches Glied, bx lineares Glied und c konstantes Glied (oder auch Absolutglied) der Gleichung. Die Gleichung ist in Normalform, falls a=1, also wenn das quadratische Glied den Koeffizienten 1 hat. Aus der allgemeinen Form lässt sich die Normalform durch →Äquivalenzumformungen gewinnen, indem durch a≠0 dividiert wird.

In praktischen Anwendungen muss dies nicht unbedingt der Fall sein. Die linke Seite einer quadratischen Gleichung ist der Term einer quadratischen Funktion (allgemeiner ausgedrückt: ein Polynom zweiten Grades), der Funktionsgraph dieser Funktion im Kartesischen Koordinatensystem ist eine Parabel. Geometrisch beschreibt die quadratische Gleichung die Nullstellen dieser Parabel.

Was sind Lösungen von quadratischen Gleichungen

Eine Lösung der quadratischen Gleichung ist eine Zahl, die die Gleichung erfüllt, wenn sie für x eingesetzt wird. Jede quadratische Gleichung hat, wenn man komplexe Zahlen als Lösungen zulässt, genau zwei (gegebenenfalls zusammenfallende) Lösungen, auch Wurzeln der Gleichung genannt. Betrachtet man nur die reellen Zahlen, so hat eine quadratische Gleichung null bis zwei Lösungen.

Eine Lösung der quadratischen Gleichung ist eine Zahl, die die Gleichung erfüllt, wenn sie für x eingesetzt wird. Jede quadratische Gleichung hat, wenn man komplexe Zahlen als Lösungen zulässt, genau zwei (gegebenenfalls zusammenfallende) Lösungen. Auch Wurzeln der Gleichung genannt. Betrachtet man nur die reellen Zahlen, so hat eine quadratische Gleichung null bis zwei Lösungen.

Siehe auch →Quadratische Polynome faktorisieren und →Nullstellen.

Der Logarithmus bezeichnet den Exponenten, mit dem eine vorher festgelegte Zahl (die Basis) potenziert werden muss, um die gegebene Zahl (den Numerus) zu erhalten. Logarithmen sind nur für positive reelle Zahlen definiert, auch die Basis muss positiv sein.

Der Logarithmus einer positiven reellen Zahl x zur Basis b ist also der Wert des Exponenten, wenn x als Potenz zur Basis b dargestellt wird, also diejenige Zahl y, welche die Gleichung by = x löst. log bedeutet normalerweise auf dem Taschenrechner log10 x (Basis 10).

Es ist also die Umkehrfunktion zur 10er Funktion. Die Zahl e (Euler´sche Zahl) ist eine Konstante wie die Zahl π . Die Eulersche Zahl ist ungefähr gleich 2,718281828459045. Statt log e a = x schreibt man ln a Mit Logarithmen lassen sich sehr stark wachsende Zahlenreihen übersichtlich darstellen, da der Logarithmus für große Zahlen viel langsamer steigt als die Zahlen selbst.

Man kann durch →Logarithmieren eine Multiplikation durch die viel weniger rechenintensive Addition ersetzen. Auch beschreiben Logarithmen auf mathematisch elegante Weise viele technische Prozesse.  Phänomene der Natur wie etwa das Verhalten einer Halbleiter-Diode werden beschrieben. Die Spirale eines Schneckenhauses oder die Wahrnehmung unterschiedlicher Lautstärken durch das menschliche Ohr kannst du ebenfalls zeigen.

Wo wende ich den Logarithmus an?

Anwendungen des Logarithmus finden sich vielfach in der Wissenschaft, wenn der Wertebereich viele Größenordnungen umfasst. Du kannst dabei Daten entweder mit einer logarithmischen Skala darstellen oder logarithmisch definierte Größen verwenden. In der gebräuchlichsten Form der Exponentialfunktion werden für den Exponenten x die reellen Zahlen zugelassen.

Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen, bei denen die Basis die unabhängige Größe (Variable) und der Exponent fest vorgegeben ist, ist bei →Exponentialfunktionen der Exponent (auch Hochzahl) des Potenzausdruckes die Variable und die Basis fest vorgegeben. Darauf bezieht sich auch die Namensgebung. Exponentialfunktionen haben in den Naturwissenschaften, z. B. bei der mathematischen Beschreibung von →Wachstumsvorgängen, eine herausragende Bedeutung (siehe →exponentielles Wachstum).

Eine Ungleichung ist ein Gegenstand der Mathematik, mit dem Größenvergleiche formuliert und untersucht werden können. Ungleichungen bestehen aus zwei →Terme, die durch ein Vergleichszeichen (Relationszeichen) verbunden sind.

Die in den beiden Termen auftretenden Werte sind meist reelle Zahlen. Die durch das Vergleichszeichen angesprochene Ordnungsrelation bezieht sich dann auf die natürliche Anordnung der reellen Zahlen.

Folgende fünf Formen von Ungleichungen sind möglich:

TL < TR … Term links kleiner Term rechts

TL > TR … Term links größer Term rechts

TL ≤ TR … Term links kleiner oder gleich Term rechts

TL ≥ TR … Term links größer oder gleich Term rechts

TL ≠ TR … Term links ungleich Term rechts

Ähnlich wie bei einer Gleichung ist es auch bei einer Ungleichung möglich, diese in eine äquivalente Ungleichung umzuformen. →Äquivalente Ungleichungen haben die gleichen Lösungsmengen, daher ist das Umformen von Ungleichungen wichtig zum Lösen von Ungleichungen, worauf der hierauf folgende Abschnitt eingehen wird.

Im Folgenden werden wichtige Regeln zu äquivalenten Ungleichungen für die Vergleichszeichen < und > und für Terme im Körper der reellen Zahlen dargestellt. Diese Äquivalenzumformungsregeln gelten analog auch für die Vergleichszeichen ≤, ≥ und ≠. Zudem werden weitere Regeln zu nicht äquivalenten Umformungen von →Ungleichungen angeboten, die du oft in der Analysis – etwa bei Konvergenzbeweisen mittels Epsilontik – benötigst.

Was solltest du noch wissen?

Eine Ungleichung kannst du umkehren

TL < TR ⇔ TR > TL

Bei Punktrechnung mit einer reellen Zahl > 0 bleiben die Vergleichszeichen erhalten, während sie sich bei Punktrechnung mit einer reellen Zahl < 0 umkehren.

Auch wenn eine einzige Ungleichung gegeben ist, kann eine Fallunterscheidung dazu führen, dass mehrere Ungleichungen betrachtet werden müssen. All das macht die Sache etwas komplizierter als das Gleichungslösen.

Eine Ungleichung der Form ax + b < 0 ( a ≠ 0 ) oder solche, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden können, heißt lineare Ungleichung mit einer →Variablen.

Bei der Angabe der Lösungsmenge musst du beachten, in welcher Grundmenge die Ungleichung zu lösen ist. Die Ungleichung 9 + 4x > 2x + 5 soll in der Menge der natürlichen Zahlen ℕ gelöst werden. Bei einer Ungleichung, die in der Menge der rationalen Zahlen ℚ gelöst werden soll, erhältst du als Lösung x > 3.

Nach dem Schnittverfahren von Ritter kannst du an statisch bestimmten Fachwerkträgern einzelne Stabkräfte rechnerisch ermitteln. Dazu zerlegst du den Träger mit dem Ritter’schen Schnitt (x − x) in zwei Teile und stellst an einem der beiden Teile das Gleichgewicht her. Die Stützkräfte müssen bei diesem Verfahren vorher ermittelt worden sein.

Damit ein System unter der Wirkung von gegebenen Kräften im Gleichgewicht ist, ist es notwendig, dass jedes Teilsystem sich in einem Gleichgewicht aus allen auf ihn einwirkenden Kraftgrößen befindet. Es ist für statisch bestimmte Tragwerke zielführend vor Anwendung des Ritterschnitts alle Auflagerkräfte zu berechnen. Vor Bestimmung der Stabkräfte ist es ebenfalls sinnvoll, vorher eventuelle Nullstäbe nach den dafür geltenden Regeln zu ermitteln.

Beim Fachwerk wird ein Teil herausgeschnitten (somit entstehen zwei Teile). Man darf prinzipiell beliebig schneiden um eine neue Gleichung zu bekommen. Vorteilhaft ist es aber, so zu schneiden, dass man für jede Unbekannte eine unabhängige Gleichung erhält. Dazu müssen sich alle Wirkungslinien der übrigen geschnittenen unbekannten Stabkräfte in einem Punkt schneiden. Dieser Punkt darf auch im Unendlichen liegen. Befindet sich der Schnittpunkt im Unendlichen, wird jedoch kein Momentengleichgewicht im eigentlichen Sinne, sondern ein Kräftegleichgewicht angestrebt.

Wie wende ich das Schnittverfahren von Ritter an?

Nach den Regeln des Freimachens werden in den Stabquerschnitten die unbekannten Stabkräfte als Zugkräfte angebracht. Also in Richtung zum Schnitt. Das am Trägerteil angreifende Kräftesystem aus den Stabkräften der Belastungskraft und der Stützkraft muss im Gleichgewicht sein. Nach Ritter setzt du zur Berechnung der unbekannten Stabkräfte die Momenten-Gleichgewichtsbedingungen an. Der Ritter’sche Schnitt darf daher auch nur maximal drei Fachwerkstäbe trennen.

Schneidest du drei Stäbe eines zwei-Dimensionalen Fachwerks und sind maximal zwei davon zueinander parallel, kannst du die Kräfte nach den Gleichgewichtsbedingungen berechnen. Sofern die parallelen Stäbe nicht auf einer Wirkungslinie liegen, kann man drei linear unabhängige Gleichungen aufstellen. Sofern die äußeren Kräfte bekannt sind (z. B. Auflagerkräfte).

Kurze Anleitung für das Ritter´schen Schnittverfahren:

Fachwerk durch einen Schnitt trennen. Der Schnitt darf höchstens drei
Fachwerkstäbe trennen, sie dürfen keinen gemeinsamen Knoten haben.
Lageskizze des abgeschnittenen Trägerteils zeichnen, dabei Stabkräfte als Zugkräfte annehmen.
Die drei Momenten-Gleichgewichtsbedingungen ΣM = 0 aufstellen und auswerten: positives Ergebnis beim Zugstab, negatives beim Druckstab.

In der Mathematik ist ein Term eine sinnvolle Kombination aus Zahlen, Variablen, Symbolen für mathematische Verknüpfungen und Klammern. Terme können als die syntaktisch korrekt gebildeten Wörter oder Wortgruppen in der formalen Sprache der Mathematik gesehen werden.

In der Praxis benutzt man den Begriff häufig, um über einzelne Bestandteile einer Formel oder eines größeren Terms zu reden.

Der Begriff „Term“ wird umgangssprachlich für alles verwendet, das eine Bedeutung trägt. Im engeren Sinn sind mathematische Gebilde gemeint, die man prinzipiell ausrechnen kann, zumindest wenn man den darin enthaltenen Variablen Werte zugewiesen hat. So ist zum Beispiel x + y ein Term, denn weist man den darin enthaltenen Variablen x und y einen Wert zu, so erhält auch der Term einen Wert. Statt Zahlen können hier auch andere mathematische Objekte in Betracht kommen.  

Grob kann man sagen, dass Terme eine Seite einer →Gleichung oder Relation, z. B. einer Ungleichung, sind. Die Gleichung oder Relation selbst sind keine Terme, sie besteht aus Termen.

Was ist ein Term mit Variablen?

Bildet man Terme mit Variablen, so beabsichtigt man in Anwendungen häufig ein Ersetzen dieser Variablen durch bestimmte Werte, die einer gewissen Grundmenge bzw. →Definitionsmenge entstammen. Zum Begriff des Terms selbst ist die Angabe einer solchen Menge nach obiger, formaler Definition nicht erforderlich. Man interessiert sich dann nicht mehr für den abstrakten Term, sondern für eine durch diesen Term definierte Funktion in einem bestimmten Modell.

Der Begriff des Terms sieht gemäß Definition Umformungen nicht vor, es handelt sich jeweils um verschiedene Terme. Mit diesen algebraischen Umformungen ist stets gemeint, dass sich die Werte, die ein Term bei Wahl einer bestimmten Grundmenge annehmen kann, durch diese Umformungen nicht ändern. Das hängt von der Grundmenge ab! So sind obige Umformungen nur in solchen Grundmengen korrekt, in denen die verwendeten Gesetze wie zum Beispiel das →Kommutativgesetz gelten. Solche algebraischen Umformungen nennt man trotzdem Termumformungen. Man geht nach in der vereinbarten Grundmenge geltenden Regeln von einem Term zu einem anderen über, ohne dessen mögliche Werte zu ändern.