Wenn in der Geometrie von einem Kegel gesprochen wird, ist häufig der Spezialfall des geraden Kreiskegels gemeint. Unter einem Kreiskegel versteht man einen Körper, der durch einen Kreis (Grundkreis oder Basiskreis) und einen Punkt außerhalb der Ebene des Kreises (Spitze des Kegels) festgelegt ist.

Ein Kegel oder Konus ist ein geometrischer Körper. Dieser entsteht, wenn man alle Punkte eines in einer Ebene liegenden, begrenzten und zusammenhängenden Flächenstücks geradlinig mit einem Punkt (Spitze bzw. Apex) außerhalb der Ebene verbindet. Ist das Flächenstück eine Kreisscheibe, kannst du den Körper Kreiskegel nennen. Das Flächenstück nennt man Grundfläche, deren Begrenzungslinie die Leitkurve und den Punkt die Spitze oder den Scheitel des Kegels. Ein Kegel hat also eine Spitze (den Scheitelpunkt), eine Kante (die Leitkurve) und zwei Flächen (die Mantel- und die Grundfläche).

Unter der Höhe des Kegels versteht man einerseits das Lot von der Spitze auf die Grundfläche (die Höhe steht also immer senkrecht zur Grundfläche). Und andererseits aber auch die Länge dieses Lotes (also den Abstand der Spitze von der Grundfläche).

Die Verbindungsstrecken der Spitze mit der Leitkurve heißen Mantellinien, ihre Vereinigung bildet den Kegelmantel oder die Mantelfläche.

Die Ebene, in welcher der Basiskreis liegt, heißt Basis(kreis)ebene. Unter dem Radius r des Kegels versteht man normalerweise den Radius des Basiskreises. Die Gerade durch den Mittelpunkt des Grundkreises und die Spitze nennt man die Achse des Kegels. Die Höhe h des Kegels ist der Abstand der Spitze von der Basisebene. Diesen Abstand musst du senkrecht zur Basisebene messen.

Steht die Achse senkrecht zur Basisebene, so liegt ein gerader Kreiskegel oder Drehkegel vor. Andernfalls spricht man von einem schiefen Kreiskegel oder elliptischen Kegel. Jeder elliptische Kegel hat zwei Richtungen, in denen sein Schnitt mit einer Ebene ein Kreis ist; diese Tatsache macht sich die stereografische Projektion als Kreistreue zunutze.

Was ist ein Kegel?

Die Bezeichnung „Drehkegel“ deutet darauf hin, dass es sich um einen Rotationskörper handelt. Er entsteht durch Rotation eines rechtwinkligen Dreiecks um eine seiner beiden Katheten. In diesem Fall werden die Mantellinien (also die Verbindungsstrecken der (Rand-)Punkte des Basiskreises mit der Spitze) auch Erzeugende genannt (s), da sie den Mantel „erzeugen“. Der Öffnungswinkel beträgt das Doppelte des Winkels zwischen den Mantellinien und der Achse eines Drehkegels. Der Winkel φ zwischen den Mantellinien und der Achse heißt halber Öffnungswinkel.

Ein Drehkegel mit Öffnungswinkel 60° heißt gleichseitiger Kegel. Diese Bezeichnung erklärt sich wie folgt. Schneidest du einen solchen Kegel mit einer Ebene, so erhältst du ein gleichseitiges Dreieck. Vor allem in der Technik wird für den Drehkegel auch das Wort Konus verwendet. Das zugehörige Eigenschaftswort konisch bezeichnet Objekte mit der Form eines Drehkegels oder eines (Dreh-)Kegelstumpfs.

Der Kreis ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt M der Ebene den gleichen Abstand r haben. M heißt Mittelpunkt, und die Strecke der Länge r, die jeden Punkt des Kreises mit seinem Mittelpunkt verbindet, heißt Radius. Nach dieser Definition ist der Kreis eine Linie, die Kreislinie.

Ein Kreis ist eine ebene geometrische Figur. Er wird definiert als die Menge aller Punkte einer Ebene, die einen konstanten Abstand zu einem vorgegebenen Punkt dieser Ebene (dem Mittelpunkt) haben. Der Abstand der Kreispunkte zum Mittelpunkt ist der Radius oder Halbmesser des Kreises, er ist eine positive reelle Zahl. Der Kreis gehört zu den klassischen und grundlegenden Objekten der euklidischen Geometrie.

Was ist der Kreis wirklich?

Nach der eingangs genannten Definition ist ein Kreis eine Kurve, also ein eindimensionales Gebilde, und keine zweidimensionale Fläche. Das Wort „Kreis“ verwendet man aber oft ungenau. Auch für die eingeschlossene Fläche benutzt man es häufig. Deshalb verwendet man zur Verdeutlichung häufig die Begriffe Kreislinie, Kreisrand oder Kreisperipherie anstatt Kreis – im Gegensatz zur Kreisfläche oder Kreisscheibe. Mathematiker unterscheiden dann noch zwischen der abgeschlossenen Kreisfläche oder -scheibe und der offenen (oder dem Kreisinneren), je nachdem ob die Kreislinie dazugehört oder nicht.

Eine zusammenhängende Teilmenge des Kreises (also der Kreislinie) ist ein Kreisbogen. Eine Verbindungsstrecke von zwei Punkten auf der Kreislinie bezeichnet man als Kreissehne. Zu jeder Sehne gehören zwei Kreisbögen. Dabei sind die längsten Kreissehnen diejenigen, die durch den Mittelpunkt verlaufen, also die Durchmesser. Die zugehörigen Kreisbögen heißen Halbkreise. Ist die Kreissehne kein Durchmesser, so sind die Kreisbögen unterschiedlich lang.

Ein Kreissektor (Kreisausschnitt) ist eine Fläche, die von zwei Radien und einem dazwischen liegenden Kreisbogen begrenzt wird. Bilden die zwei Radien einen Durchmesser, wird der Sektor auch als Halbkreis bezeichnet.

Kreissegmente (Kreisabschnitte) werden von einem Kreisbogen und einer Kreissehne eingeschlossen.

Ein Kreisring entsteht, wenn man aus einem Kreis einen kleineren Kreis mit demselben Mittelpunkt herausschneidet.

Die Kreiszahl Pi. Die Zahl π ist eine mathematische Konstante, welche das Verhältnis vom Umfangs zum Durchmesser eines Kreises beschreibt. Dieses Verhältnis ist konstant und verändert sich nicht mit der Größe des Kreises. Die Konstante wird manchmal als Pi geschrieben und hat ungefähr einen Wert von 3,14159.

Zeichnet man eine beliebige Raumdiagonale des Quaders ein (z.B. jene vom Eckpunkt B zum Eckpunkt H), so entsteht ein rechtwinkeliges Dreieck (rechter Winkel im Eckpunkt D). In jedem rechtwinkeligen Dreieck gilt der Lehrsatzes des Pythagoras, somit kann man mit dessen Hilfe die Länge der Raumdiagonale berechnen.

Wie berechne ich die Raumdiagonale?

Die Diagonale r von einer zur gegenüberliegenden Ecke hat die Länge der Wurzel aus (a²+b²+c²), wie leicht durch zweimalige →Anwendung des Satzes des Pythagoras zu berechnen ist. Ein Quader ist durch drei Angaben stets eindeutig bestimmt. Dieser hat 8 Ecken, die gegen den Uhrzeigersinn in Großbuchstaben beschriftet werden und besteht aus 6 Begrenzungsflächen (Rechtecke), von denen jeweils 2 gleich groß sind. Gegenüberliegende Begrenzungsflächen eines Quaders sind kongruent (deckungsgleich).

Wie viele Grundflächen hat ein Würfel?

Der Würfel hat 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen. Jeweils vier Kanten des Quaders sind gleich lang.

Ein Würfel (auch Hexaeder/Sechsflächner/Kubus genannt) ist ein geometrischer Körper, der aus 6 aneinanderliegenden Quadratflächen besteht (Begrenzungsflächen). Alle Seiten der Quadratflächen haben die gleiche Länge und stehen senkrecht aufeinander, zwei Seiten liegen jeweils parallel gegenüber.

Für Würfel gelten folgende Formeln: Ist a die Kantenlänge, so ist das Volumen gleich a*a*a; die Oberfläche ist gleich 6*a*a und die Grundfläche hat den Flächeninhalt a*a. Die Diagonalen auf einer Seite haben jeweils die Länge Wurzel aus (a²+a²), da sie einfach Diagonalen eines Quadrates sind.

Jeder Würfel hat sechs Flächen, die aus gleich großen Quadraten bestehen. Daher besitzt ein Würfel acht Ecken und zwölf gleich lange Kanten. Die Kanten des Würfels bilden zueinander rechte Winkel. Ein Würfel ist also ein spezieller Quader, da alle Kanten gleich lang sind.

Da es sich bei den Seitenflächen um Quadrate handelt, sind die jeweiligen 4 Eckpunkte einer Seitenfläche gleich weit von Mittelpunkt dieser Fläche entfernt. Die Beschriftung der Eckpunkte erfolgt mit Großbuchstaben und gegen den Uhrzeigersinn.

Ein Koordinatensystem hilft dir dabei, die Position eines Objektes eindeutig zu bestimmen. Es dient dir zur Orientierung. Das kartesische Koordinatensystem besitzt senkrecht zueinander stehende Achsen, die sich im Koordinatenursprung O mit den Koordinaten (0|0) schneiden.

Ein →Koordinatensystem dient zur eindeutigen Bezeichnung der Position von Punkten und Objekten in einem geometrischen Raum. Koordinatensysteme sind Hilfsmittel der Mathematik zur Positionsangabe. Sie werden in vielen Wissenschaften und in der Technik verwendet. 

Eine Koordinate ist eine von mehreren Zahlen, mit denen man die Lage eines Punktes in einer Ebene oder in einem Raum angibt. Jede der zur Beschreibung erforderlichen Dimensionen wird durch eine Koordinate ausgedrückt. Wird ein Ort durch zwei Koordinaten beschrieben, beispielsweise auf der Landkarte, spricht man von einem „Koordinatenpaar“.

Koordinatenursprung (mathematisches Kürzel: KOU) oder Ursprung bezeichnet den Punkt in einem Koordinatensystem oder einer Karte, an dem alle Koordinaten den Wert Null annehmen. Er wird auch Nullpunkt oder bei Polarkoordinaten Pol genannt. Durch den Ursprung verlaufen häufig, aber nicht zwingend die Koordinatenachsen.

Warum brauche ich ein Koordinatensystem?

Die Position eines Punktes im Raum wird im gewählten Koordinatensystem durch die Angabe von Zahlenwerten oder Größenwerten, den Koordinaten, eindeutig bestimmt. Entsprechend lässt sich die Position eines durch mehrere Punkte bestimmten Objekts (Linie, Kurve, Fläche, Körper) über deren Koordinaten angeben.

Die Anzahl der zur Beschreibung notwendigen Werte ist die Dimension des Raumes. In diesem Sinne bezeichnet man eine Ebene als zweidimensionalen Raum.

Die am häufigsten verwendeten Koordinatensysteme – dies gilt besonders für die Schulmathematik – sind das kartesische Koordinatensystem, allgemeiner das affine Koordinatensystem sowie die Polarkoordinatensysteme.

In projektiven Räumen wird ein Punkt durch seine Koordinaten in Bezug auf ein projektives Koordinatensystem dargestellt. Diese Koordinaten werden auch als homogene Koordinaten bezeichnet und werden in dieser Form auch für „gewöhnliche“ Punkte verwendet, die auch mit affinen bzw. kartesischen Koordinaten beschrieben werden könnten. Hier ist eine zusätzliche „homogenisierende“ Koordinate erforderlich. Ein Punkt in einem n-dimensionalen Raum wird also durch n + 1 homogene Koordinaten beschrieben.

Um z.B. den Punkt P ( 5 | 2 ) einzutragen, gehst du vom Nullpunkt x = 5 Einheiten nach rechts und dann y = 3 Einheiten nach oben. Ein Punkt P(x|y) ist durch ein Zahlenpaar in geordneter Reienfolge bestimmt. Die erste Zahl ist die x-Koordinate und die zweite die y-Koordinate.

Eine Geradengleichung ist eine Gleichung in der Mathematik, die eine Gerade eindeutig beschreibt. Die Gerade besteht aus all den Punkten, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen. In einem kartesischen Koordinatensystem werden jedem Punkt P der Ebene zwei Zahlen x und y als Koordinaten zugeordnet. Eine Gleichung mit den Variablen x und y beschreibt dann eine Menge von Punkten in der Ebene und zwar die Menge aller Punkte, deren x- und y-Koordinate die →Gleichung erfüllen.

Bei der Hauptform der Geraden sind die Steigung m oder k der Geraden und der Ordinatenabschnitt der Geraden gegeben. Man nennt diese Darstellungsform auch die explizite Form der Geraden. Dabei handelt es sich um eine lineare Funktion also eine vektorfreie Form der Geraden.

Wie ist eine Geradengleichung definiert?

Die zugehörige Geradengleichung lautet dann y = m⋅x+n häufig auch als y = k⋅x+d. Die Parameter m und n der Geradengleichung haben eine geometrische Bedeutung. Die Zahl m ist die Steigung der Geraden und entspricht der senkrechten Kathete des →Steigungsdreiecks, dessen waagrechte Kathete die Länge 1 aufweist. Die Zahl n ist der y-Achsenabschnitt, das heißt die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt (0,n). Ist n = 0, so verläuft die Gerade als Ursprungsgerade durch den →Koordinatenursprung und die zugehörige Funktion ist dann eine Proportionalität.

Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen, sind keine Funktionsgraphen. Sie lassen sich durch eine Gleichung der Form x=a darstellen, wobei a eine reelle Zahl ist. Eine solche Gerade schneidet die x-Achse im Punkt (a,0).

Die Zweipunkteform oder Zwei-Punkte-Form ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung. In der Zweipunkteform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder im euklidischen Raum mit Hilfe zweier Punkte der Geraden dargestellt. Die Koordinatendarstellung einer Gerade in der Ebene erfolgt in der Zweipunkteform mit Hilfe des Steigungsdreiecks der Geraden. In Vektordarstellung dient der Ortsvektor eines der beiden Punkte als Stützvektor der Gerade, während der Differenzvektor zu dem Ortsvektor des anderen Punkts den Richtungsvektor der Gerade bildet.

Verläuft die Gerade durch zwei Punkte dann kann die Steigung m der Geraden mit Hilfe des →Differenzenquotienten berechnet werden.

Um quadratische Gleichungen in allgemeiner Form zu lösen, verwendest du die Mitternachtsformel (auch abc-Formel genannt) oder große Lösungsformel. Wenn die quadratische Gleichung in Normalform gegeben ist, kannst du die p-q-Formel oder kleine Lösungsformel anwenden. Kommt die Variable in einer Gleichung in der 1. und 2. Potenz ( x und x² ) vor, nennt man sie „gemischt quadratische Gleichung“. Kommt in einer Gleichung die Variable in der 2. Potenz (x²) vor , nennt man sie „rein quadratische Gleichung“

quadratische Gleichungen sind  →Gleichungen, die sich in der Form

mit  a ≠ 0 schreiben lassen.

Die Koeffizienten von quadratischen Gleichungen können beliebige reelle Zahlen sein (mit der einzigen Einschränkung, dass a nicht Null sein darf). Um den Umgang mit quadratischen Gleichungen zu lernen, werden oft vorwiegend Beispiele herangezogen, bei denen die Koeffizienten ganzzahlig sind.

Dabei heißt ax² quadratisches Glied, bx lineares Glied und c konstantes Glied (oder auch Absolutglied) der Gleichung. Die Gleichung ist in Normalform, falls a=1, also wenn das quadratische Glied den Koeffizienten 1 hat. Aus der allgemeinen Form lässt sich die Normalform durch →Äquivalenzumformungen gewinnen, indem durch a≠0 dividiert wird.

In praktischen Anwendungen muss dies nicht unbedingt der Fall sein. Die linke Seite einer quadratischen Gleichung ist der Term einer quadratischen Funktion (allgemeiner ausgedrückt: ein Polynom zweiten Grades), der Funktionsgraph dieser Funktion im Kartesischen Koordinatensystem ist eine Parabel. Geometrisch beschreibt die quadratische Gleichung die Nullstellen dieser Parabel.

Was sind Lösungen von quadratischen Gleichungen

Eine Lösung der quadratischen Gleichung ist eine Zahl, die die Gleichung erfüllt, wenn sie für x eingesetzt wird. Jede quadratische Gleichung hat, wenn man komplexe Zahlen als Lösungen zulässt, genau zwei (gegebenenfalls zusammenfallende) Lösungen, auch Wurzeln der Gleichung genannt. Betrachtet man nur die reellen Zahlen, so hat eine quadratische Gleichung null bis zwei Lösungen.

Eine Lösung der quadratischen Gleichung ist eine Zahl, die die Gleichung erfüllt, wenn sie für x eingesetzt wird. Jede quadratische Gleichung hat, wenn man komplexe Zahlen als Lösungen zulässt, genau zwei (gegebenenfalls zusammenfallende) Lösungen. Auch Wurzeln der Gleichung genannt. Betrachtet man nur die reellen Zahlen, so hat eine quadratische Gleichung null bis zwei Lösungen.

Siehe auch →Quadratische Polynome faktorisieren und →Nullstellen.