Was sind Gleitkommazahlen?

Eine Gleitkommazahl ist die Exponentialdarstellung einer reellen Zahl. Man spricht von der Gleitkommadarstellung. Gleitkommazahlen werden auch als Gleitpunktzahlen, Fließkommazahlen und Fließpunktzahlen bezeichnet. Die Gleitkommadarstellung hilft bei der Berechnung reeller Zahlen in einem Computer.

Große Zahlen schreibt man in der Gleitkommadarstellung, weil sie dann besser zu lesen sind. Die Gleitkommadarstellung setzt sich zusammen aus der Vorzahl und der Zehnerpotenz.

Potenzen sind nicht nur als abkürzende Schreibweise vorteilhaft, sondern auch zum Schreiben von sehr großen oder sehr kleinen Zahlen. 

Jede (positive) Zahl kannst du als Produkt einer Zahl m zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz schreiben, die die Größenordnung der Zahl angibt. Diese Schreibweise heißt Gleitkommadarstellung oder auch Fleißkommadarstellung der Zahl. Die übliche schreibwiese von Zahlen wird als Festkommadarstellung bezeichnet. Der Faktor m vor der →Zehnerpotenz nennen wir Vorzahl oder Mantisse. Die Gleitkommadarstellung wird auch wissenschaftliche Schreibweise oder scientific notation genannt.

Für die Rückführung von der Gleitkommadarstellung in die gewöhnliche Festkommadarstellung musst du die vorgegebene Vorgangsweise einfach nur umkehren.

Die Hochzahl der Zehnerpotenz ist dabei gleich der Anzahl jener Stellen, um die du das Komma in der ursprünglichen Zahl verschiebst. Ob du dabei nach links oder rechts verschieben musst, ergibt sich, wenn du die Größenordnung der Zahl betrachtest. Du muss dich fragen, ob die gegebene Zahl unter Null oder größer als Null ist?

Bestimmte Ausdrücke für bestimmte Gleitkommazahlen

Für bestimmte Zehenerpotenzen (meist Tausenderpotenzen) sieht das Internationale Einheitensystem (SI) eine vereinfachende Schreibweise vor. Hier werden Abkürzungen wie k für Kilo (10³), n für nano (10-9) usw. verwendet. 

Gleitkommazahlen sind gebrochene Zahlen und gehören zu den →rationalen bzw. →reellen Zahlen und beinhalten Zahlen mit Stellen vor und nach dem Komma. Gleitkommazahlen werden auch als Gleitpunktzahlen, Fließkommazahlen und Fließpunktzahlen bezeichnet. Im Englischen werden sie als floating point numbers bezeichnet.

Als Größe bezeichnet man alles, dass durch eine Maßzahl oder eine Maßeinheit angegeben werden kann, wie Zeitspannen ( Stunden h), Massen (Kilogramm kg), Längen (Meter m), Volumina (Liter l) oder digitale Maßeinheiten (Gigabyte GB). Bei den meisten Maßeinheiten werden die in der Tabelle stehenden Bezeichnungen, Vorsilben und Symbole verwendet. 

Der Begriff „normiert“ beschreibt, dass der Vorfaktor eine Zahl ist, die mindestens 1 aber weniger als 10 beträgt. Manchmal verwendet man statt der Zehnerpotenz auch eine Vorsilbe. 

Was ist ein Intervall auf der Zahlengerade?

Die reelen Zahlen können als Punkte auf der Zahlengerade dargestellt werden. Dazu wählst du auf einer Geraden einen Nullpunkt und einen Einserpunkt. Dadurch entsteht ein Intervall von Null bis Eins. Jede weitere Beliebige Zahl stellst du mit einem Vielfachen des Abstandes zwischen Null und Eins dar. So zum Beispiel den Punkt 4, stellst du als Punkt mit dem Abstand, der viermal dem Abstand zwischen 0 und 1 hat, dar.

Positive Zahlen liegen rechts, negative Zahlen links vom Nullpunkt. In diesem Sinne kannst du sagen, dass eine Zahl, die auf der Zahlengerade liegt.

Unter Zahlengerade versteht man im Mathematikunterricht die Veranschaulichung der reellen Zahlen als Punkte auf einer Geraden. Die Darstellung verdeutlicht, dass die Menge der reellen Zahlen mittels der üblichen Vergleiche eine lineare Ordnung bildet. Die Zahlengerade setzt sich in beide Richtungen bis ins Unendliche fort. Der Pfeil an der rechten Seite der Darstellung gibt an, dass die Zahlen in dieser Richtung größer werden.

Die Zahlengerade beinhaltet positive und negative Zahlen, der Zahlenstrahl umfasst nur positive Zahlen. Die kleinstmögliche Zahl auf dem Zahlenstrahl ist die Null (0).

Dezimalzahlen lassen sich genauso wie natürliche Zahlen und Brüche am Zahlenstrahl darstellen. Je nach Unterteilung des Zahlenstrahls trägst du →Dezimalzahlen mit einer Nachkommastelle (Zehntel), mit zwei Nachkommastellen (Hundertstel), drei Nachkommastellen (Tausendstel), usw. ein.

Was sind ein Intervalle?

Ein Intervall kann (beidseitig) beschränkt oder – auch einseitig – unbeschränkt sein. Es ist durch seine untere und seine obere Intervallgrenze eindeutig bestimmt. Zusätzlich muss angegeben sein, ob diese Grenzen im Intervall enthalten sind.

Es gibt zwei verschiedene häufig verwendete Intervallschreibweisen:

  • Bei der häufigeren der beiden verwendet man für Grenzen, die zum Intervall gehören, eckige Klammern und runde für Grenzen, die nicht zum Intervall gehören. Die eckigen Klammern entsprechen einem schwachen Ungleichheitszeichen ≤.Die runden Klammern () entsprechen einem starken Ungleichheitszeichen.
  • Bei der anderen Schreibweise verwendest du statt der runden Klammern nach außen gewendete (gespiegelte) Eckige.

Wenn auf einer Seite die Intervallgrenze fehlt, es dort also keine Schranke geben soll, spricht man von einem (auf dieser Seite) unbeschränkten Intervall. Meist werden hierfür die bekannten Symbole −∞ und ∞ als „Ersatz“-Intervallgrenzen verwendet, die selbst nie zum Intervall gehören. Deshalb auch die Schreibung mit runder Klammer.

Eine Menge reeller Zahlen nennt man Intervall, wenn sie sich auf der Zahlengeraden als Strecke darstellen lässt. Gehören die Randwerte mit zum Intervall, spricht man von einem abgeschlossenen Intervall, gehören sie nicht zur dargestellten Menge, spricht man von einem offenen Intervall.

Wie bestimmt man die Scheitelpunktform oder Scheitelform?

Unter der Scheitelform oder Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion versteht man eine bestimmte Form einer quadratischen Gleichung. Aus dieser kann man den Scheitelpunkt der Funktion direkt ablesen.

Die Umwandlung von der allgemeinen Form zur Scheitelform erfolgt mit quadratischer Ergänzung. Die Umwandlung von der Scheitelform zur allgemeinen Form geschieht durch Auflösen der Klammer mit Hilfe der binomischen Formeln und Zusammenfassen des Terms.

Der Scheitelpunkt ist der höchste bzw. tiefste Punkt einer Parabel. Eine Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion. Statt vom tiefsten Punkt spricht man auch vom Minimum der Funktion.

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Ihr Scheitelpunkt ist identisch mit dem Hochpunkt (lokales Maximum), wenn sie nach unten geöffnet ist, und identisch mit dem Tiefpunkt (lokales Minimum), wenn sie nach oben geöffnet ist.

Wenn die Lage des Scheitelpunktes bekannt ist, kann die Parabel, soweit es sich um eine Normalparabel handelt, mit Hilfe einer Parabelschablone schnell in ein Koordinatensystem gezeichnet werden. Man kann die Parabelschablone auch zum Zeichnen von Parabeln verwenden, die keine Normalparabeln sind, wenn man das Koordinatensystem entsprechend skaliert.

Scheitelform und Scheitelpunkte

Scheitelpunkte, kurz Scheitel, sind in der Geometrie besondere Punkte auf Kurven. Die Scheitelpunkte eines Kegelschnitts (Ellipse, Parabel oder Hyperbel) sind die Schnittpunkte der Kurve mit den Symmetrieachsen. Sie sind gleichzeitig die Punkte, an denen die Krümmung maximal oder minimal ist.

Der Scheitelpunkt einer aufrecht stehenden Parabel, die Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist, ist Hochpunkt oder Tiefpunkt des Graphen. Durch die Lage des Scheitelpunkts und den Streckfaktor ist der Graph einer quadratischen Funktion eindeutig bestimmt. Die rechnerische Bestimmung des Scheitelpunkts ist somit ein wichtiges Hilfsmittel, um den Graph einer quadratischen Funktion zu zeichnen.

Allgemeiner bezeichnet man in der Differentialgeometrie einen Punkt auf einer regulären Kurve als Scheitel oder Scheitelpunkt, wenn die Krümmung dort ein lokales Extremum (also ein lokales Maximum oder Minimum) besitzt. Der Vierscheitelsatz macht eine Aussage über die Existenz und die Anzahl von Scheitelpunkten bei einfach geschlossenen glatten ebenen Kurven.

Was ist der Tangens?

Der Tangens ist die dritte und letzte Winkelfunktion, die wir bearbeiten. Er beschreibt das Verhältnis zwischen einem Winkel, der Ankathete und der Gegenkathete des Winkels. Dieser gibt das Verhältnis zweier Seiten im rechtwinkligen Dreieck an. Ein Verhältnis entspricht in der Mathematik dem Quotienten zweier Größen.

Um die Größe des Winkels α zu berechnen, musst du zuerst das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete bestimmen. Also teilt man die Gegenkathete durch die Ankathete und setzt das Ergebnis in die Umkehrfunktion von Tangens ein. Man kann leicht einsehen, dass tan(0°) = 0 ist und dass tan(α) über alle Grenzen geht, wenn alpha sich 90° nähert. Das heißt, dass tan(90°) nicht definiert ist. Die Stelle α = 90° ist eine Polstelle. Weiter ist zu vermuten, dass die Tangenswerte stetig mit zunehmendem Winkel monoton steigen.

Was ist die Umkehrfunktion des Tangens?

Die Funktionen Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens (gebräuchlich sind auch die Bezeichnungen sin-1 | cos-1 | tan-1 ) sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens, das heißt sie ordnen einem Verhältnis einen Winkel zu. Tangens und Kotangens sind →trigonometrische Funktionen und spielen in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten eine herausragende Rolle. Der Tangenswert des Winkels α wird mit tan α bezeichnet, der Kotangens des Winkels α mit cot α und liefert eine wichtige Kennzahl für lineare Funktionen.

Jede lineare Funktion besitzt als →Graphen eine Gerade. Der Tangens des (orientierten) Winkels α zwischen der positiven x-Richtung und der Geraden ist die Steigung m (oder auch k) der Geraden, das heißt m = tan α. Dabei ist es egal, welche der beiden Halbgeraden man als zweiten Schenkel wählt.

Auch unter der Steigung einer Straße versteht man den Tangens des Steigungswinkels. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines Winkels α das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete und der Kotangens das Längenverhältnis von Ankathete zu Gegenkathete

Der Steigungswinkel einer linearen Funktion

In Mathematikbüchern findet man in etwa die folgende Definition: Der Steigungswinkel einer Geraden ist derjenige im mathematisch positiven Sinn gemessene Winkel α , den die Gerade mit der positiven x -Achse einschließt.

Die Steigung (der Anstieg) k oder m ist konstant. Wie kannst du bei einer gegebenen Geraden diese Steigung ablesen? Indem du ein Steigungsdreieck einzeichnest. Du wählst dazu einen beliebigen Punkt der Geraden. Sobald du in x-Richtung eine Einheit nach rechts gehst, führt immer die konstante Streckenlänge k in y-Richtung zur Geraden zurück. Du kannst auch mehrere Einheiten in x-Richtung entlang gehen. Die entsprechende Streckenlänge, die in y-Richtung zur Geraden zurückführt, entspricht dann dem k-Fachen der x-Richtung. Dadurch kannst du mit Trigonometrie den Steigungswinkel berechnen.

In der Mathematik, insbesondere in der Analysis, ist die Steigung (auch als Anstieg bezeichnet) ein Maß für die Steilheit einer Geraden oder einer Kurve. Am Betrag der Steigung kannst du erkennen, wie steil der Graph einer lineraen Funktion steigt oder fällt. Je größer der Betrag der Steigung ist, umso steiler steigt oder fällt die Gerade.

Was ist das Problem beim Steigungswinkel?

Das Problem, die Steigung zu ermitteln, stellt sich dabei nicht nur bei geometrischen Fragestellungen, sondern beispielsweise auch in der Physik oder in der Volkswirtschaftslehre. So entspricht etwa die Steigung in einem Zeit-Weg-Diagramm der Geschwindigkeit oder die →Steigung in einem Zeit-Ladungs-Diagramm der Stromstärke.

Steigt die Gerade an (in positiver x-Richtung, also von links nach rechts betrachtet), so ist ihre Steigung positiv. Für eine fallende Gerade ist die Steigung negativ. Steigung 0 bedeutet, dass die Gerade waagrecht, also parallel zur x-Achse verläuft.

Aus der Steigung einer Geraden lässt sich mit Hilfe der Tangens- und Arcustangens-Funktion der zugehörige Steigungs- bzw. Neigungswinkel der Geraden bezogen auf die positive x -Achse berechnen.

Ein Zusammenhang aus der →Trigonometrie besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Tangens von einem der beiden spitzen Winkel gleich dem Quotienten der jeweiligen Gegen- und Ankathete ist, womit klar wird, dass die Steigung zugleich der Tangens des Steigungswinkels (in Grad) gegenüber der positiven x-Achse ist.

Die abschnittsweise definierte Funktion

In der Mathematik ist eine abschnittsweise definierte Funktion (auch stückweise Funktion, hybride Funktion) eine Funktion, die durch mehrere Unterfunktionen definiert ist. Wobei man jede Unterfunktion auf ein bestimmtes Intervall des Bereichs der Hauptfunktion, einen Unterbereich, anwendet. Die abschnittsweise  definierte Funktion ist eigentlich eher eine Möglichkeit, die Funktion auszudrücken, als ein Merkmal der Funktion selbst. Aber mit zusätzlicher Qualifikation kann sie die Natur der Funktion beschreiben. Zum Beispiel ist eine stückweise Polynomfunktion eine Funktion, die ein Polynom auf jeder ihrer Unterdomänen ist, aber möglicherweise auf jeder ein anderes Polynom.

Warum abschnittsweise definierte Funktion?

Das Wort abschnittsweise verwendet man auch, um jede Eigenschaft einer stückweise definierten Funktion zu beschreiben. Die für jedes Stück, aber nicht notwendigerweise für die gesamte Domäne der Funktion gilt. Eine Funktion ist stückweise differenzierbar oder stückweise kontinuierlich differenzierbar, wenn jeder Abschnitt in seiner gesamten Subdomäne differenzierbar ist.

Auch wenn die gesamte Funktion an den Punkten zwischen den Abschnitten nicht differenzierbar ist. In der konvexen Analyse kannst du bei abschnittsweisen Funktionen den Begriff der Ableitung durch den des Subderivats ersetzen. Obwohl die „Stücke“ in einer stückweisen Definition nicht Intervalle sein müssen, wird eine Funktion nicht als „abschnittsweise linear“ oder „stückweise kontinuierlich“ oder „stückweise differenzierbar“ bezeichnet, es sei denn, die Stücke sind Intervalle.

Die Treppenfunktionen sind sowohl den einfachen Funktionen als auch den Sprungfunktionen sehr ähnlich. Du solltest sie aber nicht mit diesen verwechseln. So nehmen beispielsweise einfache Funktionen auch nur endlich viele Werte an, können aber trotzdem viel komplexer sein, da sie nicht über Intervalle auf dem Grundraum definiert werden, sondern über messbare Mengen. So ist beispielsweise die Dirichlet-Funktion eine einfache Funktion, aber keine Treppenfunktion im hier genannten Sinne, da sie über abzählbar viele Sprungstellen hat und in keinem noch so kleinen Intervall konstant ist. Außerdem werden einfache Funktionen auf beliebigen Messräumen definiert, wohingegen Treppenfunktionen bloß auf R definiert werden. Allerdings ist jede Treppenfunktion auch immer eine einfache Funktion.

Die Sprungfunktionen sind wie die Treppenfunktionen auch auf den reellen Zahlen definiert. Allerdings sind sie immer monoton wachsend, können aber auch abzählbar viele Sprungstellen haben.

Eine Treppenfunktion ist in der Mathematik eine spezielle reelle Funktion, die nur endlich viele Funktionswerte annimmt und stückweise konstant ist. Dadurch erhält der Funktionsgraph einer Treppenfunktion sein charakteristisches und namensgebendes Aussehen, das einer auf- und absteigenden Treppe ähnelt.

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