Eine Gleitkommazahl ist die Exponentialdarstellung einer reellen Zahl. Man spricht von der Gleitkommadarstellung. Gleitkommazahlen werden auch als Gleitpunktzahlen, Fließkommazahlen und Fließpunktzahlen bezeichnet. Die Gleitkommadarstellung hilft bei der Berechnung reeller Zahlen in einem Computer.

Große Zahlen schreibt man in der Gleitkommadarstellung, weil sie dann besser zu lesen sind. Die Gleitkommadarstellung setzt sich zusammen aus der Vorzahl und der Zehnerpotenz.

Potenzen sind nicht nur als abkürzende Schreibweise vorteilhaft, sondern auch zum Schreiben von sehr großen oder sehr kleinen Zahlen. 

Jede (positive) Zahl kannst du als Produkt einer Zahl m zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz schreiben, die die Größenordnung der Zahl angibt. Diese Schreibweise heißt Gleitkommadarstellung oder auch Fleißkommadarstellung der Zahl. Die übliche schreibwiese von Zahlen wird als Festkommadarstellung bezeichnet. Der Faktor m vor der →Zehnerpotenz nennen wir Vorzahl oder Mantisse. Die Gleitkommadarstellung wird auch wissenschaftliche Schreibweise oder scientific notation genannt.

Für die Rückführung von der Gleitkommadarstellung in die gewöhnliche Festkommadarstellung musst du die vorgegebene Vorgangsweise einfach nur umkehren.

Die Hochzahl der Zehnerpotenz ist dabei gleich der Anzahl jener Stellen, um die du das Komma in der ursprünglichen Zahl verschiebst. Ob du dabei nach links oder rechts verschieben musst, ergibt sich, wenn du die Größenordnung der Zahl betrachtest. Du muss dich fragen, ob die gegebene Zahl unter Null oder größer als Null ist?

Bestimmte Ausdrücke für bestimmte Gleitkommazahlen

Für bestimmte Zehenerpotenzen (meist Tausenderpotenzen) sieht das Internationale Einheitensystem (SI) eine vereinfachende Schreibweise vor. Hier werden Abkürzungen wie k für Kilo (10³), n für nano (10^-9) usw. verwendet. 

Gleitkommazahlen sind gebrochene Zahlen und gehören zu den →rationalen bzw. →reellen Zahlen und beinhalten Zahlen mit Stellen vor und nach dem Komma. Gleitkommazahlen werden auch als Gleitpunktzahlen, Fließkommazahlen und Fließpunktzahlen bezeichnet. Im Englischen werden sie als floating point numbers bezeichnet.

Als Größe bezeichnet man alles, dass durch eine Maßzahl oder eine Maßeinheit angegeben werden kann, wie Zeitspannen ( Stunden h), Massen (Kilogramm kg), Längen (Meter m), Volumina (Liter l) oder digitale Maßeinheiten (Gigabyte GB). Bei den meisten Maßeinheiten werden die in der Tabelle stehenden Bezeichnungen, Vorsilben und Symbole verwendet. 

Der Begriff „normiert“ beschreibt, dass der Vorfaktor eine Zahl ist, die mindestens 1 aber weniger als 10 beträgt. Manchmal verwendet man statt der Zehnerpotenz auch eine Vorsilbe. 

Die reelen Zahlen können als Punkte auf der Zahlengerade dargestellt werden. Dazu wählst du auf einer Geraden einen Nullpunkt und einen Einserpunkt. Dadurch entsteht ein Intervall von Null bis Eins. Jede weitere Beliebige Zahl stellst du mit einem Vielfachen des Abstandes zwischen Null und Eins dar. So zum Beispiel den Punkt 4, stellst du als Punkt mit dem Abstand, der viermal dem Abstand zwischen 0 und 1 hat, dar.

Positive Zahlen liegen rechts, negative Zahlen links vom Nullpunkt. In diesem Sinne kannst du sagen, dass eine Zahl, die auf der Zahlengerade liegt.

Unter Zahlengerade versteht man im Mathematikunterricht die Veranschaulichung der reellen Zahlen als Punkte auf einer Geraden. Die Darstellung verdeutlicht, dass die Menge der reellen Zahlen mittels der üblichen Vergleiche eine lineare Ordnung bildet. Die Zahlengerade setzt sich in beide Richtungen bis ins Unendliche fort. Der Pfeil an der rechten Seite der Darstellung gibt an, dass die Zahlen in dieser Richtung größer werden.

Die Zahlengerade beinhaltet positive und negative Zahlen, der Zahlenstrahl umfasst nur positive Zahlen. Die kleinstmögliche Zahl auf dem Zahlenstrahl ist die Null (0).

Dezimalzahlen lassen sich genauso wie natürliche Zahlen und Brüche am Zahlenstrahl darstellen. Je nach Unterteilung des Zahlenstrahls trägst du →Dezimalzahlen mit einer Nachkommastelle (Zehntel), mit zwei Nachkommastellen (Hundertstel), drei Nachkommastellen (Tausendstel), usw. ein.

Was sind ein Intervalle?

Ein Intervall kann (beidseitig) beschränkt oder – auch einseitig – unbeschränkt sein. Es ist durch seine untere und seine obere Intervallgrenze eindeutig bestimmt. Zusätzlich muss angegeben sein, ob diese Grenzen im Intervall enthalten sind.

Es gibt zwei verschiedene häufig verwendete Intervallschreibweisen:

• Bei der häufigeren der beiden verwendet man für Grenzen, die zum Intervall gehören, eckige Klammern und runde für Grenzen, die nicht zum Intervall gehören. Die eckigen Klammern entsprechen einem schwachen Ungleichheitszeichen ≤.Die runden Klammern () entsprechen einem starken Ungleichheitszeichen.
• Bei der anderen Schreibweise verwendest du statt der runden Klammern nach außen gewendete (gespiegelte) Eckige.

Wenn auf einer Seite die Intervallgrenze fehlt, es dort also keine Schranke geben soll, spricht man von einem (auf dieser Seite) unbeschränkten Intervall. Meist werden hierfür die bekannten Symbole −∞ und ∞ als „Ersatz“-Intervallgrenzen verwendet, die selbst nie zum Intervall gehören. Deshalb auch die Schreibung mit runder Klammer.

Eine Menge reeller Zahlen nennt man Intervall, wenn sie sich auf der Zahlengeraden als Strecke darstellen lässt. Gehören die Randwerte mit zum Intervall, spricht man von einem abgeschlossenen Intervall, gehören sie nicht zur dargestellten Menge, spricht man von einem offenen Intervall.

Bildet man das bestimmte Integral einer reellen Funktion in einer Variablen, so lässt sich das Ergebnis im zweidimensionalen Koordinatensystem als Flächeninhalt der Fläche deuten. Diese liegt zwischen dem Graphen der Funktion, der x-Achse sowie den begrenzenden Parallelen zur y-Achse.

Man integriert Funktionen meistens, weil ihre Kurven keine geometrische Figur bilden. Und es daher mit einfachen Flächeninhaltsformeln, wie du sie zum Beispiel für ein Quadrat oder ein Dreieck kennst, möglich ist, den von der x-Achse oder durch zwei Funktionen eingeschlossenen Flächeninhalt zu bestimmen.

Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin Analysis. Sie ist aus dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung entstanden. Das Integral ist ein Oberbegriff für das unbestimmte und das bestimmte Integral. Die Berechnung von Integralen heißt Integration.

Das bestimmte Integral einer Funktion ordnet dieser eine Zahl zu. Hierbei zählen Flächenstücke unterhalb der x-Achse negativ. Man spricht vom orientierten Flächeninhalt (auch Flächenbilanz). 

Diese Konvention wird gewählt, damit das bestimmte Integral eine lineare Abbildung ist, was sowohl für theoretische Überlegungen als auch für konkrete Berechnungen eine zentrale Eigenschaft des Integralbegriffs darstellt. Auch wird so sichergestellt, dass der sogenannte Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt.

Was ein unbestimmtes Integral?

Das unbestimmte Integral einer Funktion ordnet dieser eine Menge von Funktionen zu, deren Elemente Stammfunktionen genannt werden. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass ihre ersten Ableitungen mit der Funktion, die du integriert hast, übereinstimmen. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gibt dir Auskunft darüber, wie du bestimmte Integrale aus Stammfunktionen berechnen kannst.

Im Gegensatz zur Differentiation existiert für die Integration auch elementarer Funktionen kein einfacher und kein alle Fälle abdeckender Algorithmus. Integration erfordert trainiertes Raten, das Benutzen spezieller Umformungen (Integration durch Substitution, partielle Integration), Nachschlagen in einer Integraltafel oder das Verwenden spezieller Computer-Software. Oft erfolgt die Integration nur näherungsweise mittels sogenannter numerischer Quadratur.

Ein Ziel der Integralrechnung ist die Berechnung von Flächeninhalten krummlinig begrenzter Bereiche der Ebene. In den meisten in der Praxis auftretenden Fällen sind derartige Flächen beschrieben durch zwei stetige Funktionen f,g auf einem kompakten Intervall [a,b], deren Graphen die Fläche begrenzen.

Auf Grund seiner fundamentalen Bedeutung erhält dieser Typ Flächeninhalt eine spezielle Bezeichnung mit den Integrationsgrenzen (a,b)  ∫f(x)dx,gelesen als Integral von a bis b über (oder: von) f von x dx. Der Faktor dx wird heute im Allgemeinen als reiner Notationsbestandteil verwendet und steht dabei für das Differential auf der x-Achse. Statt x kannst du auch eine andere Variable, abgesehen von a und b wählen, zum Beispiel t, was den Wert des Integrals nicht ändert.

Die Produktregel oder Leibnizregel (nach G. W. Leibniz) ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sie führt die Berechnung der Ableitung eines Produktes von Funktionen auf die Berechnung der Ableitungen der einzelnen Funktionen zurück.

Eine Anwendung der Produktregel in der Integralrechnung ist die Methode der partiellen Integration. Für den Fall, dass eine der beiden Funktionen konstant ist, geht die Produktregel in die einfachere Faktorregel über.

Sind die Funktionen u und v von einem Intervall D in die Menge der reellen oder der komplexen Zahlen an einer Stelle x_a differenzierbar, so ist auch die Funktion für alle x ∈ D definierte Funktion f an dieser Stelle differenzierbar, und es gilt (uv)′ = u′v + uv′ 

Wann braucht man die Produktregel bei der Differentialrechnung?

Einfach formuliert: man braucht sie immer dann, wenn eine Funktion der Form „Term mit x mal Term mit x “ vorliegt (wenn die Variable x heißt). Es ist egal, welchen Faktor man als u(x) bzw. v(x) bezeichnet.Die Produktregel kann sukzessive auch auf mehrere Faktoren angewandt werden.

Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sie führt die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen →Funktionen zurück.

Sind die Funktionen u(x) und v(x) von einem Intervall D in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle x = x_a mit v(x_a) ≠ 0 differenzierbar, dann ist auch die Funktion an der Stelle x_a differenzierbar.

Wann braucht man die Quotientenregel?

Die Verwendung dieser Ableitungsregel liegt nahe, wenn der Funktionsterm ein Bruch ist. Allerdings gibt es Beispiele gebrochener Funktionen, bei denen man durch geeignetes Umformen ohne Quotientenregel schneller ans Ziel gelangt.

Das besondere an der →Exponential-Funktion ist, dass die einfache E-Funktion f(x) = e^x abgeleitet ebenfalls wieder e^x ist. Dies bedeutet, dass f'(x) = e^x ist. Die Funktion f(x) hat damit eine identische Steigung wie f'(x). In den meisten Fällen liegt jedoch nicht einfach nur e hoch x vor.

Die Ableitung der e-Funktion ist die e-Funktion. Das kann man sich leicht merken. Schwieriger wird es jedoch, wenn nicht nur ein x im Exponenten steht. Dann sind wir nämlich gezwungen, auf die Kettenregel zurückzugreifen.

Das uneigentliche Integral ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Mit Hilfe dieses Integralbegriffs ist es möglich, Funktionen zu integrieren, die einzelne Singularitäten aufweisen oder deren Definitionsbereich unbeschränkt ist und die deshalb im eigentlichen Sinn nicht integrierbar sind.

Ein uneigentliches Integral kannst du als Erweiterung des Riemann-Integrals, des Lebesgue-Integrals oder auch anderer Integrationsbegriffe verstehen. Oftmals wird es allerdings im Zusammenhang mit dem Riemann-Integral betrachtet, da insbesondere das (eigentliche) Lebesgue-Integral schon viele Funktionen integrieren kann, die nur uneigentlich Riemann-integrierbar sind.

Der Grund für das uneigentliche Integral ist

Es gibt zwei Gründe, warum man uneigentliche Integrale betrachtet. Zum einen möchte man Funktionen auch über unbeschränkte Bereiche integrieren, beispielsweise von −∞ bis ∞

Dies ist mit dem Riemann-Integral ohne weiteres nicht möglich. Uneigentliche Integrale, die dieses Problem lösen, nennt man uneigentliche Integrale erster Art. Außerdem ist es auch von Interesse, Funktionen zu integrieren, die auf dem Rand ihres Definitionsbereichs eine Singularität haben. Uneigentliche Integrale, die das ermöglichen, nennt man uneigentliche Integrale zweiter Art. Es ist möglich, dass uneigentliche Integrale an einer Grenze uneigentlich erster Art und an der anderen Grenze uneigentlich zweiter Art sind. Jedoch ist es für die Definition des uneigentlichen Integrals unerheblich, von welcher Art das Integral ist.

Du hast bereits bestimmte Integrale kennengelernt. Diese kannst du mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung berechnen. Dabei ist das Intervall abgeschlossen.

Bei einem uneigentlichen Integral sind

• entweder die obere Integrationsgrenze ∞ und / oder die untere −∞
• oder die Funktion an einer der Integrationsgrenzen ist nicht definiert.

Im folgenden Video zeige ich dir, wie du ein uneigentliche Integrale berechnen kannst. Das Vorgehen ist dabei jedes Mal gleich.

• Du ersetzt die Integrationsgrenze ±∞ beziehungsweise die, an welcher die Funktion nicht definiert ist, durch eine variable Grenze.
• Du erhältst so einen Flächeninhalt, welcher von dieser variablen Grenze abhängt.
• Zuletzt bildest du den Grenzwert entsprechend der Grenze, welcher substituiert wurde.

Unter der Scheitelform oder Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion versteht man eine bestimmte Form einer quadratischen Gleichung. Aus dieser kann man den Scheitelpunkt der Funktion direkt ablesen.

Die Umwandlung von der allgemeinen Form zur Scheitelform erfolgt mit quadratischer Ergänzung. Die Umwandlung von der Scheitelform zur allgemeinen Form geschieht durch Auflösen der Klammer mit Hilfe der binomischen Formeln und Zusammenfassen des Terms.

Der Scheitelpunkt ist der höchste bzw. tiefste Punkt einer Parabel. Eine Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion. Statt vom tiefsten Punkt spricht man auch vom Minimum der Funktion.

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Ihr Scheitelpunkt ist identisch mit dem Hochpunkt (lokales Maximum), wenn sie nach unten geöffnet ist, und identisch mit dem Tiefpunkt (lokales Minimum), wenn sie nach oben geöffnet ist.

Wenn die Lage des Scheitelpunktes bekannt ist, kann die Parabel, soweit es sich um eine Normalparabel handelt, mit Hilfe einer Parabelschablone schnell in ein Koordinatensystem gezeichnet werden. Man kann die Parabelschablone auch zum Zeichnen von Parabeln verwenden, die keine Normalparabeln sind, wenn man das Koordinatensystem entsprechend skaliert.

Scheitelform und Scheitelpunkte

Scheitelpunkte, kurz Scheitel, sind in der Geometrie besondere Punkte auf Kurven. Die Scheitelpunkte eines Kegelschnitts (Ellipse, Parabel oder Hyperbel) sind die Schnittpunkte der Kurve mit den Symmetrieachsen. Sie sind gleichzeitig die Punkte, an denen die Krümmung maximal oder minimal ist.

Der Scheitelpunkt einer aufrecht stehenden Parabel, die Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist, ist Hochpunkt oder Tiefpunkt des Graphen. Durch die Lage des Scheitelpunkts und den Streckfaktor ist der Graph einer quadratischen Funktion eindeutig bestimmt. Die rechnerische Bestimmung des Scheitelpunkts ist somit ein wichtiges Hilfsmittel, um den Graph einer quadratischen Funktion zu zeichnen.

Allgemeiner bezeichnet man in der Differentialgeometrie einen Punkt auf einer regulären Kurve als Scheitel oder Scheitelpunkt, wenn die Krümmung dort ein lokales Extremum (also ein lokales Maximum oder Minimum) besitzt. Der Vierscheitelsatz macht eine Aussage über die Existenz und die Anzahl von Scheitelpunkten bei einfach geschlossenen glatten ebenen Kurven.