Eine Tangente ist eine Gerade, die etwas nur berührt, aber nicht schneidet. Unter Kurvendiskussion versteht man in der Mathematik die Untersuchung des Graphen einer Funktion. Untersucht werden dessen geometrische Eigenschaften. Wie zum Beispiel Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte, gegebenenfalls Sattel- und Flachpunkte, Asymptoten, Verhalten im Unendlichen usw. Diese Informationen erlauben es, eine Skizze des Graphen anzufertigen, aus der all diese für die Funktion charakteristischen Eigenschaften unmittelbar ablesbar sind.

Eine Tangente ist eine Gerade, die etwas nur berührt, aber nicht schneidet. Legt man zum Beispiel eine Kugel auf ein glattes Brett, so berührt das Brett die Kugel ja nur. Das Brett wäre also eine Tangente an die Kugel. 

Findet man eine Tangente an einen Funktionsgraphen in einem Punkt, dann kann man sagen, dass der Graph in dem Punkt die gleiche Steigung hat wie diese. Also verwendet man Tangenten oft, um gut über die Steigung eines Funktionsgraphen reden zu können.

Wie kann man eine Tangente berechnen?

Wenn du Tangenten an der Stelle x finden willst, machst du folgendes:

x in die →lineare Funktion einsetzen, dann erhält man schon mal den Punkt, an dem die Tangente berührt.

x in die Ableitung einsetzen, dann erhält man die Steigung m.

m und den obigen Punkt in die →Geradengleichung y=m*x+b einseten, dann erhält man b.

Eine Wendetangenten sind Tangenten im Wendepunkt. Waagerechte Tangenten haben die Steigung Null und beschreiben die mögliche Stelle für Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt.

Tangenten (von lateinisch: tangere ‚berühren‘) sind in der Geometrie Geraden, die eine gegebene Kurve in einem bestimmten Punkt berühren. Beispielsweise ist die Schiene für das Eisenbahnrad eine Tangente. Da der Auflagepunkt des Rades ein Berührungspunkt der beiden geometrischen Objekte, Gerade und Kreis, ist. Tangente und Kurve haben im Berührungspunkt die gleiche Richtung. Tangenten in diesen Punkten sind die beste lineare Näherungsfunktion für die Kurve.

Ein Funktionsgraph hat an einer Stelle x = x₀ eine waagerechte Tangente, wenn dort die erste Ableitung verschwindet, d. h. den Wert null hat: 𝑓′(𝑥₀)=0. Dies kann bedeuten, dass sich dort eine Extremstelle befindet. Also ein Maximum oder Minimum der Funktion, es kann dort aber auch ein Sattelpunkt vorliegen.

Die Monotonie beschreibt den Verlauf einer Funktion. Das Monotonieverhalten beschreibt, ob der Graph der Funktion steigt, fällt oder konstant verläuft. Somit hat die Monotonie viel mit der Steigung der Funktion zu tun. Es gibt →Funktionen, die ausschließlich monoton steigend/ zunehmend /wachsend sind und Funktionen, die ausschließlich monoton fallend/ abnehmend sind.

Wichtig ist dabei, dass die Monotonie nur für einen Teil des Definitionsbereiches betrachtet wird, in dem die Funktion stetig ist. Das bedeutet, dass du den Graph der Funktion zeichnen kannst, ohne den Stift abzusetzen.

Wie ist die Monotonie definiert?

Eine reelle Funktion (d.h. eine Funktion, deren Definitionsmenge eine Teilmenge von ℝ ist und nur Werte in ℝ hat) heißt monoton steigend (oder monoton wachsend), wenn bei größer werdenden x-Wert auch der Funktionswert f(x) größer oder bleibt gleich. Genauso nennt man eine Funktion monoton fallend, wenn die Funktionswerte bei wachsendem x kleiner werden oder gleich bleiben.

Bei streng monoton steigenden Funktionen steigt der 𝑦-Wert, der Funktionswert 𝑓(𝑥), mit dem 𝑥-Wert. Das heißt, wenn der 𝑥-Wert größer wird, wir auch der 𝑦 -Wert größer.

Es gibt auch Funktionen, die nur monoton steigend sind, nicht streng monoton steigend. Diese Funktionen steigen nicht an jedem Punkt an, sondern verlaufen zum Teil auch gerade, also parallel zur 𝑥-Achse. Jedoch dürfen sie nicht fallen.

Wenn eine Funktion streng monoton steigend verläuft, gilt: 𝑓′(𝑥) > 0

Die Ableitung ist größer Null. Die Steigung wird also nicht negativ. Egal, welchen 𝑥-Wert man einsetzt, das Ergebnis der Ableitung ist immer positiv oder gleich null.

Bei streng monoton fallenden Funktionen nimmt der 𝑦-Wert (𝑓(𝑥)) ab, wenn der 𝑥-Wert größer wird. Wenn eine Funktion streng monoton fallend verläuft, gilt: 𝑓′(𝑥)<0 

Die →Ableitung ist kleiner Null. Mit anderen Worten ist die Steigung an keinem Punkt positiv. Egal, welchen 𝑥-Wert man in die Ableitung einsetzt, das Ergebnis der Ableitung ist immer negativ oder null.

Auch bei den monoton fallenden Funktionen gibt es Funktionen, die nicht als streng monoton fallend bezeichnet werden können. Dies sind dann Funktionen, die entweder fallend oder konstant, parallel zur 𝑥-Achse verlaufen.

Die Betrachtung des Monotonieverhaltens einer Funktion ist fester Bestandteil der Kurvendiskussion. 

Unter einer Kurvendiskussion kann man in der Mathematik die Untersuchung eines Graphen einer Funktion auf dessen geometrische Eigenschaften verstehen. Wie zum Beispiel Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Hoch- und Tiefpunkte und →Wendepunkte. Gegebenenfalls Sattel- und Flachpunkte, Asymptoten, Verhalten im Unendlichen usw. Diese Informationen erlauben es, eine Skizze des Graphen anzufertigen. Aus der all diese für die Funktion charakteristischen Eigenschaften unmittelbar ablesbar sind.

Es ist heute hingegen nicht mehr das Ziel einer Kurvendiskussion, die Schüler dabei zu unterstützen, eine möglichst genaue Zeichnung des →Graphen der Funktion zu produzieren. Das kann inzwischen jeder Funktionsplotter (etwa ein grafikfähiger Taschenrechner, ein Smartphone mit entsprechender Software, ein Tabellenkalkulationsprogramm oder Computeralgebra-Software) viel besser.

Das Ziel der Kurvendiskussion

• ist vielmehr, die Koordinaten der charakteristischen Punkte des Graphen exakt zu bestimmen (aus einem Funktionsplot lassen sich lediglich ungefähre Werte ablesen)
• Charakteristische Eigenschaften wie Symmetrie oder Verhalten im Unendlichen zu beweisen. Aus einem Funktionsplot kann man immer nur Aussagen über den abgebildeten Ausschnitt des Koordinatensystems ablesen
• Genauer hinzusehen: ein augenscheinliches lokales Minimum kann sich – bei entsprechender Vergrößerung – als ein lokales Maximum herausstellen.

Zudem lässt sich eine Kurvendiskussion auch ganz ähnlich bei Funktionen durchführen, die von vielen Variablen abhängen (wie z. B. von x1 x2 x3 usw.). Eine Visualisierung einer derartigen Funktion in 2D oder 3D ist nicht mehr möglich.

Die Bedeutung der Kurvendiskussion wird auch vor dem Hintergrund interessant, dass in entscheidungsunterstützenden Systemen Hoch- bzw. Tiefpunkte automatisch zu berechnen sind. Soll beispielsweise die Auswirkung der Veränderung einer Randbedingung auf die zu optimierende Größe untersucht werden, so würde solch ein System den jeweiligen Extremwert anzeigen bzw. grafisch visualisieren. Während ein Wert, der die Randbedingung beschreibt (etwa die Höhe einer Ressource), variiert wird.

Bei einer Kurvendiskussion wird fast immer die Menge R aller reellen Zahlen als Grundmenge vorausgesetzt. Der maximale Definitionsbereich einer Funktion f ist also die Menge aller reellen Zahlen x, für die der Funktionswert

f(x) definiert ist. Für →ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) ist der maximale Definitionsbereich gleich R. Bei gebrochenrationalen Funktionen gehören alle reellen Zahlen mit Ausnahme der Nullstellen des Nenners zum maximalen Definitionsbereich.

Der binomische Lehrsatz führt zu den binomischen Formeln. Diese sind in der elementaren Algebra verbreitete Formeln zum Umformen von Produkten aus Binomen. Sie werden als Merkformeln verwendet, die zum einen das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken erleichtern. Zum anderen erlauben sie die Faktorisierung von Termen. Also die Umformung von bestimmten Summen und Differenzen in Produkte. Dies stellt bei der Vereinfachung von Bruchtermen, beim Radizieren von Wurzeltermen sowie Logarithmenausdrücken sehr oft die einzige Lösungsstrategie dar. Im Grunde sind sie Spezialfälle des Distributivgesetzes für algebraische Summen. Jedes Glied der einen wird mit jedem der anderen Summe multipliziert.

Eine der bekanntesten Formeln in der Mathematik ist (a+b)² =a² +2ab+b².

Der →binomische Lehrsatz für den Fall n = 2 heißt erste binomische Formel. Im Grunde ist dies nur ein Spezialfall eines allgemeinen Satzes, des binomischen Lehrsatzes.

Wenn du höhere Potenzen ausrechnen willst, z.B. (a+b)⁴ wird der Rechenaufwand beim Ausmultiplizieren sehr groß.

Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms als Polynom n-ten Grades in den Variablen a und b auszudrücken. In der Algebra gibt der binomische Lehrsatz an, wie ein Ausdruck auszumultiplizieren ist. Der binomische Lehrsatz für den Fall n = 2 heißt erste binomische Formel. Die Koeffizienten dieser Polynomausdrücke sind die →Binomialkoeffizienten

Was ist der Binomialkoeffizient?

Der Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion, mit der sich eine der Grundaufgaben der Kombinatorik lösen lässt. Er gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k-bestimmte Objekte aus einer Menge von n-verschiedenen Objekten auswählen kann. Ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge. Der Binominalkoeffizient ist also die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge.

Mit ihrer Hilfe lassen sich leicht alle Binomialkoeffizienten bis zu einer vorgegebenen Schranke für n bestimmen, ein Schema dafür ist das Pascalsche Dreieck: Der rekursive Teil entspricht dort der Tatsache, dass jede Zahl die Summe der beiden über ihr stehenden Zahlen ist.

In der Mathematik ist ein Wendepunkt ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. Der Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Dieser Wechsel wird auch Bogenwechsel genannt. Die Ermittlung von Wendepunkten ist Bestandteil einer Kurvendiskussion.

Ein Wendepunkt W an der Wendestelle x_W liegt vor, wenn die Krümmung des Funktionsgraphen an der Stelle x_W ihr Vorzeichen wechselt. Daraus lassen sich verschiedene hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten ableiten. Ein Kriterium fordert, dass die zweite Ableitung der differenzierbaren Funktion f an der Stelle x_W ihr Vorzeichen wechselt. 

Andere Kriterien fordern nur, dass die zweite Ableitung der Funktion Null ist und dass bestimmte höhere Ableitungen ungleich Null sind.

Betrachtet man die zweite Ableitung einer →Funktion f als „Steigung ihrer Steigung“, lassen sich ihre Wendestellen auch als [lokale] Extremstellen, das heißt [lokale] Maxima oder Minima, ihrer Steigung interpretieren.

Tangenten durch einen Wendepunkt heißen Wendetangenten. Wendepunkte, in denen diese Wendetangenten horizontal verlaufen, werden Sattel-, Terrassen- oder Horizontalwendepunkte genannt.

Notwendiges Kriterium für einen Wendepunkt

Sei f eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, dann beschreibt, wie in der Definition schon angemerkt, die zweite Ableitung die Krümmung des →Funktionsgraphen. Da ein Wendepunkt ein Punkt ist, an dem sich das Vorzeichen der Krümmung ändert, muss die zweite Ableitung der Funktion f an diesem Punkt Null sein. 

Ist x_W eine Wendestelle, so ist f(x_W) = 0

Als hinreichendes Kriterium ohne Verwendung der dritten Ableitung gilt folgendes.

Bei Kurvendiskussionen verwendest du in der Regel eine der beiden folgenden hinreichenden Bedingungen. In der ersten Bedingung kommt nur die zweite Ableitung vor; dafür muss das Vorzeichen von f″_(xw) untersucht werden.

In der zweiten für einen Wendepunkt hinreichenden Bedingung wird auch die dritte Ableitung benötigt, allerdings nur an der Stelle x_W selbst. Diese Bedingung wird vor allem dann verwendet, wenn die dritte Ableitung leicht zu ermitteln ist. Der Hauptnachteil gegenüber der schon erläuterten Bedingung liegt darin, dass du im Falle f‴_(xw) = 0 keine Entscheidung treffen kannst.

→Funktionen 2. Ordnung, also quadratische Funktionen z.B. f(x)=x² können keine Wendepunkte haben, da sich die Krümmung des Graphen nicht ändert. Kubische Funktionen haben immer einen Wendepunkt.

In der Mathematik bezeichnet man als Sattelpunkt, Terrassenpunkt oder Horizontalwendepunkt einen kritischen Punkt einer Funktion, der kein Extrempunkt ist. Punkte dieser Art sind, wie die zuletzt genannte Bezeichnung es andeutet, Spezialfälle von Wendepunkten. 

Das duale Zahlensystem oder auch Zweiersystem, Dualsystem oder Binärsystem genannt, ist ein Zahlensystem, das zur Darstellung von Zahlen nur zwei verschiedene Ziffern benutzt. Im üblichen Dezimalsystem verwendest du die Ziffern 0 bis 9. Im Dualsystem hingegen werden Zahlen nur mit den Ziffern des Wertes null und eins dargestellt. Oft werden für diese Ziffern die Symbole 0 und 1 verwendet. 

Das Dualsystem ist das Stellenwertsystem mit der Basis 2, liefert also die dyadische (2-adische) Darstellung von →Zahlen. Aufgrund seiner Bedeutung in der Digitaltechnik ist es neben dem Dezimalsystem das wichtigste Zahlensystem.

Das duale Zahlensystem oder auch Binärsystem

Die Zahldarstellungen im dualen Zahlensystem werden auch Dualzahlen oder Binärzahlen genannt. Letztere ist die allgemeinere Bezeichnung, da diese auch einfach für binärcodierte Zahlen stehen kann. Der Begriff Binärzahl spezifiziert die Darstellungsweise einer Zahl also nicht näher, er sagt nur aus, dass zwei verschiedene Ziffern verwendet werden.

Wenn du im →Dezimalsystem zählst, erhöhst du die letzte Stelle immer um 1. Wenn es nicht mehr weiter geht, weil du bei der höchsten Ziffer angekommen ist, setzt du sie auf 0 und erhöhst die Ziffer davor.

Im Binären System gibt es nur die Ziffern 0 und 1. Nach der 1 kommt wieder die 0, und gleichzeitig wird auch hier die nächste Stelle um eins hochgezählt. Nach der 10000 (lies: „Eins-Null-Null-Null-Null“, nicht „Zehntausend“) kommt die 10001 und danach die 10010.

Um eine Dualzahl in die entsprechende Dezimalzahl umzurechnen, werden alle Ziffern jeweils mit ihrem Stellenwert (entsprechende Zweierpotenz) multipliziert und dann addiert. Endet die Dualzahl mit einer 1, so ist die Dezimalzahl eine ungerade Zahl.

Zahlen im Zweiersystem kannst du schriftlich addieren wie im Zehnersystem mit Übertrag. Zehnerzahlen kannst du addieren, indem du die Ziffern für die Einer, Zehner, Hunderter etc. addierst. Ist die Summe größer als 9, entsteht ein Übertrag, der zur nächsten Ziffernaddition zugefügt wird.

Möchtest du mehr als 2 Dualzahlen addieren, muss du wie folgt vorgehen. Beispiel 1 + 1 + 1 = 11 Zunächst addierst du 1 + 1 und notierst die 0. Die 1 wird als Übertrag an die nächste Stelle nach links gebildet. Du erhälst also die Ziffernfolge 10. Als nächsten Schritt addierst du die notierte 0 mit der dritten 1.