Ein Koordinatensystem hilft dir dabei, die Position eines Objektes eindeutig zu bestimmen. Es dient dir zur Orientierung. Das kartesische Koordinatensystem besitzt senkrecht zueinander stehende Achsen, die sich im Koordinatenursprung O mit den Koordinaten (0|0) schneiden.

Ein →Koordinatensystem dient zur eindeutigen Bezeichnung der Position von Punkten und Objekten in einem geometrischen Raum. Koordinatensysteme sind Hilfsmittel der Mathematik zur Positionsangabe. Sie werden in vielen Wissenschaften und in der Technik verwendet. 

Eine Koordinate ist eine von mehreren Zahlen, mit denen man die Lage eines Punktes in einer Ebene oder in einem Raum angibt. Jede der zur Beschreibung erforderlichen Dimensionen wird durch eine Koordinate ausgedrückt. Wird ein Ort durch zwei Koordinaten beschrieben, beispielsweise auf der Landkarte, spricht man von einem „Koordinatenpaar“.

Koordinatenursprung (mathematisches Kürzel: KOU) oder Ursprung bezeichnet den Punkt in einem Koordinatensystem oder einer Karte, an dem alle Koordinaten den Wert Null annehmen. Er wird auch Nullpunkt oder bei Polarkoordinaten Pol genannt. Durch den Ursprung verlaufen häufig, aber nicht zwingend die Koordinatenachsen.

Warum brauche ich ein Koordinatensystem?

Die Position eines Punktes im Raum wird im gewählten Koordinatensystem durch die Angabe von Zahlenwerten oder Größenwerten, den Koordinaten, eindeutig bestimmt. Entsprechend lässt sich die Position eines durch mehrere Punkte bestimmten Objekts (Linie, Kurve, Fläche, Körper) über deren Koordinaten angeben.

Die Anzahl der zur Beschreibung notwendigen Werte ist die Dimension des Raumes. In diesem Sinne bezeichnet man eine Ebene als zweidimensionalen Raum.

Die am häufigsten verwendeten Koordinatensysteme – dies gilt besonders für die Schulmathematik – sind das kartesische Koordinatensystem, allgemeiner das affine Koordinatensystem sowie die Polarkoordinatensysteme.

In projektiven Räumen wird ein Punkt durch seine Koordinaten in Bezug auf ein projektives Koordinatensystem dargestellt. Diese Koordinaten werden auch als homogene Koordinaten bezeichnet und werden in dieser Form auch für „gewöhnliche“ Punkte verwendet, die auch mit affinen bzw. kartesischen Koordinaten beschrieben werden könnten. Hier ist eine zusätzliche „homogenisierende“ Koordinate erforderlich. Ein Punkt in einem n-dimensionalen Raum wird also durch n + 1 homogene Koordinaten beschrieben.

Um z.B. den Punkt P ( 5 | 2 ) einzutragen, gehst du vom Nullpunkt x = 5 Einheiten nach rechts und dann y = 3 Einheiten nach oben. Ein Punkt P(x|y) ist durch ein Zahlenpaar in geordneter Reienfolge bestimmt. Die erste Zahl ist die x-Koordinate und die zweite die y-Koordinate.

Die stetige Verzinsung ist ein Sonderfall der unterjährigen exponentiellen Verzinsung (mit Zinseszinsen), bei der die Anzahl der Zinsperioden gegen unendlich strebt. Sie wird deshalb auch auch Momentanverzinsung, Augenblicksverzinsung oder kontinuierliche Verzinsung genannt. Der Zeitraum der einzelnen Zinsperiode geht gegen 0.

Einer der Vorteile der stetigen Verzinsung ist, dass man sich keine Gedanken über die Zinskapitalisierung machen muss, da zu jedem Zeitpunkt kapitalisiert wird. Damit ist die stetige Verzinsung oft auch Grundlage von finanzmathematischen Modellen, da sich diese Verzinsungsart besonders einfach handhaben lässt.

Nicht nur die stetige Verzinsung ist ausschlaggebend

Beim Äquivalenzprinzip ist es egal, ob du den →Barwert oder den Endwert berechnest oder gar auf einen anderen Stichtag verzinst. Das bessere Angebot ist jedesmal besser, und dass zu jedem Zeitpunkt. Das Äquivalenzprinzip ist wichtig. Wenn du z. B. Einzahlungen, die zu verschiedenen Zeitpunkten getätigt werden, vergleichst.

Unter einem Cashflow (Zahlungsstrom) kannst du in der Wirtschaftsmathematik eine betriebswirtschaftliche Kennzahl verstehen. Bei dieser Kennzahl stellst du Einzahlungen und Auszahlungen innerhalb eines bestimmten Zeitraums einander gegenüber. Dadurch kannst du Aussagen zur Innenfinanzierung, Liquidität etc. eines Wirtschaftssubjektes machen. Bei unterjährig verzinslichen Anlagen erfolgt die Zinsgutschrift mehrmals im Jahr.

Der Zeitraum der Verzinsung ist also kleiner als ein Jahr. Üblich sind beispielsweise Zeiträume von:

•  einem halben Jahr,
• einem Quartal oder
• einem Monat oder
•  tageweise bei Restmonaten

Bei einem Kredit wird in der Regel zwischen Nominalzins und Effektivzins unterschieden. Der Nominalzins – auch Sollzins genannt – ist der Zinssatz für einen Kredit pro Kalenderjahr. Deshalb trägt er häufig als Zusatzkennzeichnung die Abkürzung „p. a.“ (per annum).

Unter einem →unterjährigen Zinssatz versteht man einen Zinssatz, der sich auf Verzinsungsperioden unter einem Jahr bezieht. Durch die Unterteilung in mehrere Zinsperioden ergibt sich durch den Zinseszins ein höherer Jahreszinssatz. Der Zinsfaktor ist ein Begriff aus der Zinsrechnung. Er gibt an, um wie viel das Kapital in einem Jahr wächst. In Formeln der Zinsrechnung ist der Zinsfaktor mit q abgekürzt.

Die Halbwertszeit oder Halbwertzeit ist jene Zeitspanne, nach der eine abnehmende Größe die Hälfte des anfänglichen Werts erreicht. In der Medizin und Pharmakologie spricht man von diesem Wert bei dem die Hälfte des Höchstwertes erreicht wird.

Folgt die Abnahme einem Exponentialgesetz, dann bleibt die Halbwertszeit immer die gleiche. Auch wenn man die Restmenge, die nach einer beliebigen Zeit übrig ist, als neue Anfangsmenge nimmt. Bei exponentieller Abnahme charakterisiert daher die Halbwertszeit den zugrunde liegenden Prozess.

Der →radioaktive Zerfall eines gegebenen Radionuklids verläuft exponentiell. Die Halbwertszeit ist die Zeitspanne, in der die Menge und damit auch die Aktivität eines gegebenen Radionuklids durch den Zerfall auf die Hälfte gesunken ist.

Die biologische Halbwertszeit oder Eliminationshalbwertszeit ist die Zeitspanne, in der in einem Organismus (Mensch, Tier, Pflanze, Einzeller) die Menge einer inkorporierten Substanz durch die Wirkung aller beteiligten biologischen Prozesse (Stoffwechsel, Ausscheidung usw.) auf die Hälfte abgesunken ist.

Die Halbwertszeit ist ein exponentieller Prozess

Das Zerfallsgesetz setzt als Menge eine kontinuierliche, als reelle Zahl darstellbare Größe voraus. Es ist aber auch auf ganzzahlige Größen anwendbar. Wie z. B. die Anzahl der Atome in der radioaktiven Substanzprobe. Es beschreibt jeweils den messtechnischen Erwartungswert, also Mittelwert über viele gedachte Einzelmessungen.

Bei einem →exponentiellen Prozess handelt es sich um einen Vorgang, bei dem sich eine Größe exponentiell ändert. Man unterscheidet zwischen exponentiellem Wachstum, bei dem eine Größe immer schneller wächst. Und einer exponentieller Annäherung, bei der sich eine Größe einem festen Wert annähert. Der praktisch wichtigste Spezialfall hiervon ist der exponentielle Zerfall. Bei dieser nähert sich die Größe monoton abnehmend immer langsamer dem Nullwert.

Ist die Abnahme einer Größe proportional zum jeweiligen Wert der Größe selbst. So spricht man von →exponentiellem Zerfall, exponentieller Abnahme oder exponentiellem Abfall.

Die „Generationszeit“ bezeichnet den Zeitraum, in dem eine Population ihre Zellzahl verdoppelt. Die →Verdopplungszeit den Zeitraum für die Verdopplung der Zellmasse. Bakterien vermehren sich durch Zellteilung (Mitose). Dabei werden alle Organellen verdoppelt und das Bakterium teilt sich in eine identische Tochterzelle. Der Prozess kann einige Minuten, Stunden oder Tage dauern.

Als Betragsgleichung wird eine Gleichung bezeichnet, in der der Absolutbetrag eines oder mehrerer Terme vorkommt. Der Begriff ist ein bisschen unscharf, wenn du nicht genau definierst, um welche Arten von Termen es sich dabei handelt. Es stellt sich die Frage, ob es eine oder mehrere reelle Zahlen x gibt, für die die Aussage wahr ist. Und wenn, um welche Werte es sich dabei handelt.

Um eine Betragsgleichung lösen zu können, sollten wir uns erinnern, was der Absolutbetrag einer reellen Zahl ist. Den Betrag einer negativen Zahl erhalten wir, indem wir ”das Minuszeichen weglassen“. Das Problem ist, dass wir zunächst nicht wissen, ob der Betragsterm einen positiven oder eine negativen Wert hat oder Null ist.

Du kannst die Methode der Fallunterscheidung systematisieren, sodass du sie auch auf kompliziertere Betragsgleichungen anwenden kannst. Gleichungen, bei denen von der Variablen direkt oder indirekt der absolute Betrag angegeben ist, sind weder der Gruppe der algebraischen Gleichungen noch der Gruppe der transzendenten Gleichungen zuzuordnen. Beim Lösen von Gleichungen mit Beträgen sind Fallunterscheidungen vornehmen.

Fallunterscheidungen zum Lösen einer Betragsgleichung

Dies wird für lineare und quadratische Gleichungen demonstriert. Die oben allgemein geführten Betrachtungen zeigen, dass eine →quadratische Gleichung mit absoluten Beträgen maximal vier Lösungen haben kann. Es sind aber auch Fälle möglich, bei denen es keine Lösung gibt, oder solche mit einer Lösung, mit zwei oder mit drei Lösungen. Eine Ungleichung ist ein Gegenstand der Mathematik, mit dem Größenvergleiche formuliert und untersucht werden können.

Jede Ungleichung besteht aus zwei Termen, die durch eines der Vergleichszeichen Kleinerzeichen, Kleinergleichzeichen, Größergleichzeichen oder Größerzeichen verbunden sind. Ungleichungen sind Aussageformen. Die auf den beiden Seiten einer Ungleichung vorkommenden funktionalen Terme beinhalten in der Regel Variablen, welche stellvertretend für Elemente aus dem Definitionsbereich der jeweiligen Terme stehen.

Werden diese Variablen durch feste Elemente der jeweiligen Definitionsbereiche ersetzt, so entstehen Aussagen, welche entweder wahr oder falsch sind. Ähnlich wie bei Gleichungen ist es auch bei Ungleichungen möglich, diese in →äquivalente Ungleichungen umzuformen. Auch ist die Frage zu beantworten, ob und wenn ja welche Elemente der Definitionsbereiche beim Einsetzen in die beiden Terme eine wahre oder falsche Aussage liefern. Eine wichtige Technik zum Finden der Lösungsmenge ist das Umformen der Ungleichung in eine einfachere Form.

Eine Geradengleichung ist eine Gleichung in der Mathematik, die eine Gerade eindeutig beschreibt. Die Gerade besteht aus all den Punkten, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen. In einem kartesischen Koordinatensystem werden jedem Punkt P der Ebene zwei Zahlen x und y als Koordinaten zugeordnet. Eine Gleichung mit den Variablen x und y beschreibt dann eine Menge von Punkten in der Ebene und zwar die Menge aller Punkte, deren x- und y-Koordinate die →Gleichung erfüllen.

Bei der Hauptform der Geraden sind die Steigung m oder k der Geraden und der Ordinatenabschnitt der Geraden gegeben. Man nennt diese Darstellungsform auch die explizite Form der Geraden. Dabei handelt es sich um eine lineare Funktion also eine vektorfreie Form der Geraden.

Wie ist eine Geradengleichung definiert?

Die zugehörige Geradengleichung lautet dann y = m⋅x+n häufig auch als y = k⋅x+d. Die Parameter m und n der Geradengleichung haben eine geometrische Bedeutung. Die Zahl m ist die Steigung der Geraden und entspricht der senkrechten Kathete des →Steigungsdreiecks, dessen waagrechte Kathete die Länge 1 aufweist. Die Zahl n ist der y-Achsenabschnitt, das heißt die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt (0,n). Ist n = 0, so verläuft die Gerade als Ursprungsgerade durch den →Koordinatenursprung und die zugehörige Funktion ist dann eine Proportionalität.

Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen, sind keine Funktionsgraphen. Sie lassen sich durch eine Gleichung der Form x=a darstellen, wobei a eine reelle Zahl ist. Eine solche Gerade schneidet die x-Achse im Punkt (a,0).

Die Zweipunkteform oder Zwei-Punkte-Form ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung. In der Zweipunkteform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder im euklidischen Raum mit Hilfe zweier Punkte der Geraden dargestellt. Die Koordinatendarstellung einer Gerade in der Ebene erfolgt in der Zweipunkteform mit Hilfe des Steigungsdreiecks der Geraden. In Vektordarstellung dient der Ortsvektor eines der beiden Punkte als Stützvektor der Gerade, während der Differenzvektor zu dem Ortsvektor des anderen Punkts den Richtungsvektor der Gerade bildet.

Verläuft die Gerade durch zwei Punkte dann kann die Steigung m der Geraden mit Hilfe des →Differenzenquotienten berechnet werden.

Um quadratische Gleichungen in allgemeiner Form zu lösen, verwendest du die Mitternachtsformel (auch abc-Formel genannt) oder große Lösungsformel. Wenn die quadratische Gleichung in Normalform gegeben ist, kannst du die p-q-Formel oder kleine Lösungsformel anwenden. Kommt die Variable in einer Gleichung in der 1. und 2. Potenz ( x und x² ) vor, nennt man sie „gemischt quadratische Gleichung“. Kommt in einer Gleichung die Variable in der 2. Potenz (x²) vor , nennt man sie „rein quadratische Gleichung“

quadratische Gleichungen sind  →Gleichungen, die sich in der Form

mit  a ≠ 0 schreiben lassen.

Die Koeffizienten von quadratischen Gleichungen können beliebige reelle Zahlen sein (mit der einzigen Einschränkung, dass a nicht Null sein darf). Um den Umgang mit quadratischen Gleichungen zu lernen, werden oft vorwiegend Beispiele herangezogen, bei denen die Koeffizienten ganzzahlig sind.

Dabei heißt ax² quadratisches Glied, bx lineares Glied und c konstantes Glied (oder auch Absolutglied) der Gleichung. Die Gleichung ist in Normalform, falls a=1, also wenn das quadratische Glied den Koeffizienten 1 hat. Aus der allgemeinen Form lässt sich die Normalform durch →Äquivalenzumformungen gewinnen, indem durch a≠0 dividiert wird.

In praktischen Anwendungen muss dies nicht unbedingt der Fall sein. Die linke Seite einer quadratischen Gleichung ist der Term einer quadratischen Funktion (allgemeiner ausgedrückt: ein Polynom zweiten Grades), der Funktionsgraph dieser Funktion im Kartesischen Koordinatensystem ist eine Parabel. Geometrisch beschreibt die quadratische Gleichung die Nullstellen dieser Parabel.

Was sind Lösungen von quadratischen Gleichungen

Eine Lösung der quadratischen Gleichung ist eine Zahl, die die Gleichung erfüllt, wenn sie für x eingesetzt wird. Jede quadratische Gleichung hat, wenn man komplexe Zahlen als Lösungen zulässt, genau zwei (gegebenenfalls zusammenfallende) Lösungen, auch Wurzeln der Gleichung genannt. Betrachtet man nur die reellen Zahlen, so hat eine quadratische Gleichung null bis zwei Lösungen.

Eine Lösung der quadratischen Gleichung ist eine Zahl, die die Gleichung erfüllt, wenn sie für x eingesetzt wird. Jede quadratische Gleichung hat, wenn man komplexe Zahlen als Lösungen zulässt, genau zwei (gegebenenfalls zusammenfallende) Lösungen. Auch Wurzeln der Gleichung genannt. Betrachtet man nur die reellen Zahlen, so hat eine quadratische Gleichung null bis zwei Lösungen.

Siehe auch →Quadratische Polynome faktorisieren und →Nullstellen.