Der Logarithmus bezeichnet den Exponenten, mit dem eine vorher festgelegte Zahl (die Basis) potenziert werden muss, um die gegebene Zahl (den Numerus) zu erhalten. Logarithmen sind nur für positive reelle Zahlen definiert, auch die Basis muss positiv sein.

Der Logarithmus einer positiven reellen Zahl x zur Basis b ist also der Wert des Exponenten, wenn x als Potenz zur Basis b dargestellt wird, also diejenige Zahl y, welche die Gleichung by = x löst. log bedeutet normalerweise auf dem Taschenrechner log10 x (Basis 10).

Es ist also die Umkehrfunktion zur 10er Funktion. Die Zahl e (Euler´sche Zahl) ist eine Konstante wie die Zahl π . Die Eulersche Zahl ist ungefähr gleich 2,718281828459045. Statt log e a = x schreibt man ln a Mit Logarithmen lassen sich sehr stark wachsende Zahlenreihen übersichtlich darstellen, da der Logarithmus für große Zahlen viel langsamer steigt als die Zahlen selbst.

Man kann durch →Logarithmieren eine Multiplikation durch die viel weniger rechenintensive Addition ersetzen. Auch beschreiben Logarithmen auf mathematisch elegante Weise viele technische Prozesse.  Phänomene der Natur wie etwa das Verhalten einer Halbleiter-Diode werden beschrieben. Die Spirale eines Schneckenhauses oder die Wahrnehmung unterschiedlicher Lautstärken durch das menschliche Ohr kannst du ebenfalls zeigen.

Wo wende ich den Logarithmus an?

Anwendungen des Logarithmus finden sich vielfach in der Wissenschaft, wenn der Wertebereich viele Größenordnungen umfasst. Du kannst dabei Daten entweder mit einer logarithmischen Skala darstellen oder logarithmisch definierte Größen verwenden. In der gebräuchlichsten Form der Exponentialfunktion werden für den Exponenten x die reellen Zahlen zugelassen.

Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen, bei denen die Basis die unabhängige Größe (Variable) und der Exponent fest vorgegeben ist, ist bei →Exponentialfunktionen der Exponent (auch Hochzahl) des Potenzausdruckes die Variable und die Basis fest vorgegeben. Darauf bezieht sich auch die Namensgebung. Exponentialfunktionen haben in den Naturwissenschaften, z. B. bei der mathematischen Beschreibung von →Wachstumsvorgängen, eine herausragende Bedeutung (siehe →exponentielles Wachstum).

Eine Ungleichung ist ein Gegenstand der Mathematik, mit dem Größenvergleiche formuliert und untersucht werden können. Ungleichungen bestehen aus zwei →Terme, die durch ein Vergleichszeichen (Relationszeichen) verbunden sind.

Die in den beiden Termen auftretenden Werte sind meist reelle Zahlen. Die durch das Vergleichszeichen angesprochene Ordnungsrelation bezieht sich dann auf die natürliche Anordnung der reellen Zahlen.

Folgende fünf Formen von Ungleichungen sind möglich:

TL < TR … Term links kleiner Term rechts

TL > TR … Term links größer Term rechts

TL ≤ TR … Term links kleiner oder gleich Term rechts

TL ≥ TR … Term links größer oder gleich Term rechts

TL ≠ TR … Term links ungleich Term rechts

Ähnlich wie bei einer Gleichung ist es auch bei einer Ungleichung möglich, diese in eine äquivalente Ungleichung umzuformen. →Äquivalente Ungleichungen haben die gleichen Lösungsmengen, daher ist das Umformen von Ungleichungen wichtig zum Lösen von Ungleichungen, worauf der hierauf folgende Abschnitt eingehen wird.

Im Folgenden werden wichtige Regeln zu äquivalenten Ungleichungen für die Vergleichszeichen < und > und für Terme im Körper der reellen Zahlen dargestellt. Diese Äquivalenzumformungsregeln gelten analog auch für die Vergleichszeichen ≤, ≥ und ≠. Zudem werden weitere Regeln zu nicht äquivalenten Umformungen von →Ungleichungen angeboten, die du oft in der Analysis – etwa bei Konvergenzbeweisen mittels Epsilontik – benötigst.

Was solltest du noch wissen?

Eine Ungleichung kannst du umkehren

TL < TR ⇔ TR > TL

Bei Punktrechnung mit einer reellen Zahl > 0 bleiben die Vergleichszeichen erhalten, während sie sich bei Punktrechnung mit einer reellen Zahl < 0 umkehren.

Auch wenn eine einzige Ungleichung gegeben ist, kann eine Fallunterscheidung dazu führen, dass mehrere Ungleichungen betrachtet werden müssen. All das macht die Sache etwas komplizierter als das Gleichungslösen.

Eine Ungleichung der Form ax + b < 0 ( a ≠ 0 ) oder solche, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden können, heißt lineare Ungleichung mit einer →Variablen.

Bei der Angabe der Lösungsmenge musst du beachten, in welcher Grundmenge die Ungleichung zu lösen ist. Die Ungleichung 9 + 4x > 2x + 5 soll in der Menge der natürlichen Zahlen ℕ gelöst werden. Bei einer Ungleichung, die in der Menge der rationalen Zahlen ℚ gelöst werden soll, erhältst du als Lösung x > 3.

In der Mathematik ist ein Term eine sinnvolle Kombination aus Zahlen, Variablen, Symbolen für mathematische Verknüpfungen und Klammern. Terme können als die syntaktisch korrekt gebildeten Wörter oder Wortgruppen in der formalen Sprache der Mathematik gesehen werden.

In der Praxis benutzt man den Begriff häufig, um über einzelne Bestandteile einer Formel oder eines größeren Terms zu reden.

Der Begriff „Term“ wird umgangssprachlich für alles verwendet, das eine Bedeutung trägt. Im engeren Sinn sind mathematische Gebilde gemeint, die man prinzipiell ausrechnen kann, zumindest wenn man den darin enthaltenen Variablen Werte zugewiesen hat. So ist zum Beispiel x + y ein Term, denn weist man den darin enthaltenen Variablen x und y einen Wert zu, so erhält auch der Term einen Wert. Statt Zahlen können hier auch andere mathematische Objekte in Betracht kommen.  

Grob kann man sagen, dass Terme eine Seite einer →Gleichung oder Relation, z. B. einer Ungleichung, sind. Die Gleichung oder Relation selbst sind keine Terme, sie besteht aus Termen.

Was ist ein Term mit Variablen?

Bildet man Terme mit Variablen, so beabsichtigt man in Anwendungen häufig ein Ersetzen dieser Variablen durch bestimmte Werte, die einer gewissen Grundmenge bzw. →Definitionsmenge entstammen. Zum Begriff des Terms selbst ist die Angabe einer solchen Menge nach obiger, formaler Definition nicht erforderlich. Man interessiert sich dann nicht mehr für den abstrakten Term, sondern für eine durch diesen Term definierte Funktion in einem bestimmten Modell.

Der Begriff des Terms sieht gemäß Definition Umformungen nicht vor, es handelt sich jeweils um verschiedene Terme. Mit diesen algebraischen Umformungen ist stets gemeint, dass sich die Werte, die ein Term bei Wahl einer bestimmten Grundmenge annehmen kann, durch diese Umformungen nicht ändern. Das hängt von der Grundmenge ab! So sind obige Umformungen nur in solchen Grundmengen korrekt, in denen die verwendeten Gesetze wie zum Beispiel das →Kommutativgesetz gelten. Solche algebraischen Umformungen nennt man trotzdem Termumformungen. Man geht nach in der vereinbarten Grundmenge geltenden Regeln von einem Term zu einem anderen über, ohne dessen mögliche Werte zu ändern.

Rationale Exponenten sind also Exponenten aus der Menge der Rationalen Zahlen. In der Mathematik kann man Produkte aus gleichen Faktoren als Potenzen schreiben. Allgemein wird eine Potenz mit aⁿ beschrieben. Das a wird dabei als Basis bezeichnet, das n ist der Exponent – oft auch Hochzahl genannt.

Was ist ein natürlicher Exponent?

Potenzen mit natürlichem Exponenten. Wir potenzieren eine Zahl mit natürlichen Zahlen, also ganzen, positiven Zahlen, wobei wir die Null auch zulassen wollen. Die Zahl nennen wir allgemein a und den Exponenten n (weil er eine natürlich Zahl ist).

Wenn man eine Gleichung mit einem Exponenten in der Form x=5³ hat, braucht man nur 5 · 5 ·5 ausrechnen und erhält den Wert für x. 2. Bei einer Gleichung wie x³=125 zieht man auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel, bzw. wie in diesem Fall die 3.

Eine Potenz (von lateinisch potentia ‚Vermögen, Macht‘) ist das Ergebnis des Potenzierens (der Exponentiation), das wie das Multiplizieren seinem Ursprung nach eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte mathematische Rechenoperation ist. Wie beim Multiplizieren ein Summand wiederholt zu sich selbst addiert wird, so wird beim Potenzieren ein Faktor wiederholt mit sich selbst multipliziert. Dabei heißt die Zahl, die zu multiplizieren ist, Basis. Wie oft diese Basis als Faktor auftritt, wird durch den Exponenten angegeben.

Was sind Rationale Exponenten?

Der Wert der Potenz hängt nicht davon ab, welche Bruchdarstellung man gewählt hat. Wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen mit ungeraden Wurzelexponenten zulässt, dann kann man diese Definition auf negative Basen und solche rationale Exponenten erweitern, deren gekürzte Bruchdarstellungen ungerade Nenner haben. Dazu gehören auch Potenzen mit negativen Basen und ganzen Exponenten, weil die Nenner in diesem Fall gleich 1 sind.

Rationale Exponenten sind also Exponenten aus der Menge der →Rationalen Zahlen „Q“ .

Die Hochzahlen sind also Brüche. ¼ ist demnach der rationale Exponent bei x1/4.

Du kannst alle →Rechenregeln für Potenzen auch auf Wurzeln anwenden. Dazu gehören natürlich die Potenzregeln, aber später zum Beispiel auch manche Ableitungsregel.

Die Potenzen mit rationalem Exponenten sind also nur eine andere Schreibweise für Wurzelausdrücke. Das kann gerade an Computern oft hilfreich sein, da ein Wurzelzeichen nicht immer zu finden ist.

Dezimalzahlen nennt man die Zahlen, in denen ein Komma vorkommt (zum Beispiel 6,4 oder 0,7). Die Stellen rechts vom Komma nennt man Dezimalstellen. Die erste Nachkommastelle steht für die Zehntel, die zweite steht für Hundertstel, die dritte für Tausendstel und so weiter.

Was sind Kommastellen?

Dezimalzahlen werden dazu verwendet um nicht-ganze Zahlen darzustellen, sprich Teile an etwas Ganzem. Man unterscheidet dabei zwischen den Stellen vor und nach dem Komma. Diese nennt man daher auch Vorkommastellen und Nachkommastellen. Die Stellen rechts vom Komma bezeichnet man außerdem noch als Dezimalstellen.

Die Nachkommastellen sind die Stellen hinter dem (rechts vom) Komma einer Dezimalzahl oder allgemeiner einer nicht-ganzen Zahl, die mit einem Stellenwertsystem als Kommazahl dargestellt wird. Im ersten Fall spricht man auch von Dezimalstellen oder Dezimalen.

Wie rechnest du mit Dezimalzahlen?

Du multiplizierst zwei Dezimalzahlen, indem du für die Rechnung zunächst das Komma weglässt. Anschließend zählst du die Nachkommastellen der Faktoren und setzt das Komma an der entsprechenden Stelle im Ergebnis.

Bei der Division von zwei Dezimalzahlen verschiebst du zunächst das Komma in beiden Zahlen gleich weit um so viele Stellen nach rechts, dass der Divisor eine natürliche Zahl ist. Die Verschiebung des Kommas bedeutet, dass beide Zahlen mit der gleichen Zehnerpotenz multipliziert werden.

Bei der Multiplikation mit 10 wurde also eine 0, bei der Multiplikation mit 100 zwei 0 und bei der Multiplikation mit 1000 drei 0 an den ersten Faktor angehängt.

Ist beim Multiplizieren einer der beiden Faktoren eine Dezimalzahl, so muss das Ergebnis der Multiplikation genau so viele Dezimalstellen (= Kommastellen) haben wie der 1. Faktor.

Sind beim Multiplizieren beide Faktoren Dezimalzahlen, so muss das Ergebnis der Multiplikation genau so viele Dezimalstellen (= Kommastellen) haben wie die beiden Faktoren zusammen.

Periodische Dezimalzahlen entstehen bei der Division mit Rest, wenn du den Rest weiter dividierst. Hat der Divisor nur die Primfaktoren 2 oder 5, so erhältst du eine Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen. Hat der Divisior als Teiler 3 oder 7, 11, usw. so erhältst du eine periodische Dezimalzahl.

Um dieses Thema zu verstehen, solltest du bereits wissen, was eine Gleichung ist. Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung ersten Grades, die Variable x kommt in keiner höheren als der ersten Potenz vor. x ist die Variable.

Eine lineare Gleichung darf keine trigonometrischen Funktionen, wie den Sinus, angewendet auf eine Variable enthalten. Hier wird durch eine Variable geteilt. Das ist in linearen Gleichungen nicht erlaubt. In linearen Gleichungen dürfen Variablen zwar mit Zahlen, aber nicht mit Variablen multipliziert werden.

Eine Gleichung heißt allgemeingültig, wenn sie unabhängig von den Werten der Variablen wahr ist. Die Gleichung x−x=0 ist allgemeingültig, denn für jedes x∈R ist sie wahr.

Wie löse ich eine Lineare Gleichung?

Zunächst fasst du, wenn möglich, die beiden Seiten zusammen. Als nächstes stellst du die Gleichung um. Und zwar so, dass x nur noch alleine, links steht und rechts nur Zahlen. Auf die gleiche Weise kann man immer vorgehen. Erst die beiden Seiten so weit wie möglich zusammenfassen und vereinfachen. Dann weiter vereinfachen durch →Äquivalenzumformungen. Geschickt etwas abziehen, was auf beiden Seiten steht. Schliesslich sollte auf der einen Seite nur noch ein Vielfaches der Variablen stehen und auf der anderen eine Zahl. Man teilt durch die Zahl vor der Variablen und hat die Gleichung gelöst.

Eine lineare Gleichung ist eine mathematische Bestimmungsgleichung, in der ausschließlich Linearkombinationen der Unbekannten vorkommen. Kennzeichnend ist für eine lineare Gleichung also, dass jede Unbekannte nur in der ersten Potenz steht, also nicht beispielsweise quadriert vorkommt (siehe quadratische Gleichung). Typischerweise sind die Unbekannten einer linearen Gleichung Skalare, meist reelle Zahlen. Im einfachsten Fall einer skalaren Unbekannten x besitzt eine lineare Gleichung die Form a⋅x = b, wobei a und b Konstanten sind.

Welche Arten von linearen Gleichungen gibt es?

Es gibt aber auch lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten und mit anderen mathematischen Objekten als Unbekannten, beispielsweise Folgen (lineare Differenzengleichungen), Vektoren (lineare Gleichungssysteme) oder Funktionen (lineare Differentialgleichungen). Im allgemeinen Fall besitzt eine lineare Gleichung die Form T(x) = b ,wobei T eine lineare Abbildung ist.

Homogene lineare Gleichungen sind spezielle lineare Gleichungen, bei denen der konstante Term b der Gleichung gleich null ist. Die Lösungen einer homogenen linearen Gleichung bilden einen Untervektorraum des →Vektorraums der Unbekannten und besitzen damit besondere Eigenschaften wie die Gültigkeit des Superpositionsprinzips. 

Die Lösungen einer inhomogenen linearen Gleichung bilden hingegen einen affinen Unterraum, so lässt sich jede Lösung einer inhomogenen linearen Gleichung als Summe der Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung und einer Partikulärlösung darstellen. Der Lösungsraum einer linearen Gleichung kann über den Kern und den Kokern der linearen Abbildung charakterisiert werden.

Lineare Gleichungen und deren Lösungen werden insbesondere in der linearen Algebra und der linearen Funktionalanalysis studiert, sie spielen aber auch in der Zahlentheorie eine Rolle.