Um zusammengesetzte Beanspruchungen in einem Bauteil berechnen zu können, musst du Vergleichsspannung und Vergleichsmoment berücksichtigen. Beanspruchungen wie Zug (Normalspannung σ), Druck (Normalspannung σ),  →Biegung (Normalspannung σ) oder Torsion (Tangentialspannung τ) sind bereits bekannt. Wenn mehrere Beanspruchungen gleichzeitig auftreten kannst du bei Zug/Druck oder Biegung die Spannungen addieren, da es sich um Normalspannungen handelt. Bei Schub- und Torsionspannungen geht das ebenfalls.

Warum Vergleichsmoment? 

Bei Biegung und gleichzeitiger →Torsion kannst du aber nicht die Spannungen einfach addieren. Die Biegung ist eine Normalspannung und wirkt normal (orthogonal) auf den Querschnitt. Die Torsion (Tangentialspannung) andererseits wirkt in axialer Richtung im Querschnitt. Eine einfache Addition (Superpositionsprinzip) ist deshalb nicht möglich. Somit musst du eine Vergleichsspannung berechnen.

Warum braucht man Vergleichsspannungen?

Da beide Spannungen rechtwinkelig aufeinander stehen, könnte man ja meinen, dass wir mit Hilfe des Pythagoras eine resultierende Spannung berechnen könnten. Das funktioniert aber schon allein aus der verschiedenartigen Werkstoffreaktion auf die unterschiedlichen Spannungen nicht.

Schön zuerkennen ist dies an den unterschiedlichen Modulen. Während du bei der Normalspannung das Elastizitätsmodul E für Stahl mit ca. 210000 N/mm² aus Tabellen herausliest, nimmst du bei der Schubspannung das Schubmodul G für Stahl mit 81000 N/mm² an.

Um diese Unterschied in  deiner Berechnung optimal zu berücksichtigen, musst du mit einer idealisierten Vergleichsspannung arbeiten. Diese wurde aus der Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie ermittelt, da diese Versuche sehr gut übereinstimmen. Deswegen wird sie auch Gestaltsänderungshypothese genannt. Bei den Versuchen wurde festgestellt, dass Tangentialspannungen das Bauteil deutlich höher beanspruchen als Normalspannungen.

Prinzipiell versuchen alle Festigkeitshypothesen darauf abzuzielen, mit einer Vergleichsspannung die zusammengesetzte Wirkung der einzelnen Spannungen auf das Bauteil zu ermitteln.

Die geometrische Addition der einfließenden Spannungen ist bei der Betrachtung der Formel durchaus erkennbar. 

Lediglich einen betriebsabhängigen Faktor, das sogenannte Anstrengungsverhältnis α₀, musst du in der Formel berücksichtigen.

Was ist ein Anstrengungsverhältnis?

Das Anstrengungsverhältnis berücksichtigt die Kombination verschiedener Lastfälle im System, die auftreten können

Für Wellen aus Stahl ist dieses näherungsweise bekannt.

α0 ≈ 0,7 bei Biegung, wechselnd wirkend und Torsion ruhend (schwellend) Standardfall für Wellen

α0 ≈ 1,0 bei Biegung, wechselnd wirkend und Torsion wechselnd

α0 ≈ 1,5 bei Biegung, ruhend (schwellend) wirkend und Torsion wechselnd

Eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung liegt genau dann vor, wenn sich bei einem Körper die Geschwindigkeit in einem gleichen Zeitabstand Δt im gleichem Maße verändert. Der Betrag der Beschleunigung ist somit konstant (a = konstant). Bei einer gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung sind sowohl der Betrag der Beschleunigung als auch die Richtung der Beschleunigung immer gleich. Gleichmäßig beschleunigte Bewegungen können aber auch auf beliebigen anderen Bahnen erfolgen.

Was ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung?

Gleichmäßig beschleunigte Bewegungen sind Bewegungen, bei denen die Beschleunigung bezüglich Stärke und Richtung konstant sind. Die gleichmäßige Bewegung ist eine geradlinige Bewegung, wenn Beschleunigung und Anfangsgeschwindigkeit kollinear sind.  Zwei Vektoren sind kollinear zueinander, wenn sie als Pfeile gedacht zueinander parallel sind. Ist dies nicht der Fall, entsteht eine →Parabel als Bahnkurve. 

Durch die Wahl eines Bezugssystem (Inertialsystems), in dem die Anfangsgeschwindigkeit null ist, erhält man stets eine geradlinige Bewegung. Wenn die Beschleunigung null wird, erhält man die gleichförmige Bewegung. Beispiele für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegungen sind der freie Fall oder der schräge Wurf ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes.

Sofern die gleichmäßig beschleunigte Bewegung geradlinig ist, kannst du für Berechnungen Zahlen statt Vektoren verwenden. Es genügt, die Orientierung des Geschwindigkeits- und des Beschleunigungsvektors durch das Vorzeichen auszudrücken. Die Bewegungsrichtung kannst du als positiv auszeichnen, die Gegenrichtung als negativ.

Verläuft die gleichmäßige Bewegung nicht geradlinig, so ist die allgemeinere →Vektorform zu verwenden. Eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist eine Bewegung, bei der die Beschleunigung bezüglich Stärke und Richtung gleich bleibt, also konstant ist.

Was ist die gleichmäßig verzögerte Bewegung?

Der Unterschied zwischen einer gleichmäßig beschleunigten und einer gleichmäßig verzögerten Bewegung ist, dass der gleichmäßig beschleunigte Körper immer schneller wird. Der gleichmäßig verzögerte Körper wird hingegen aus einer Anfangsgeschwindigkeit heraus immer langsamer. Er wird also abgebremst, bis er schließlich zum Stillstand kommt.

Diese Bremsbewegung ist eine beschleunigte Bewegung. Denn immer dann, wenn sich die Geschwindigkeit des Körpers ändert, findet eine Beschleunigung statt. Im Falle einer Bremsbewegung ist die Beschleunigung negativ und die Geschwindigkeit wird im Laufe der Zeit kleiner.

Wir bezeichnen eine Bewegung als gleichmäßig verzögert, wenn eine konstante Beschleunigung a der Anfangsgeschwindigkeit v₀ entgegenwirkt.

Als Zugkraft wird in der Statik in Anlehnung an den allgemeinen Sprachgebrauch eine Kraft F bezeichnet, die an einem Körper zieht. 

Kräfte werden in der Praxis normalerweise in der Einheit Newton angegeben. Dies entspricht also der Kraft F, die benötigt wird, um eine Masse der gegebenen Schwerkraft (g = 9,81 m/s²) entgegen zu halten oder zu heben.

Zugspannungen entstehen durch Kräfte, die ein Bauteil auf Zug beanspruchen. Das Gegenteil sind Druckspannungen, diese entstehen, wenn auf ein Bauteil Druckkräfte wirken.

Die Wirklinie oder Wirkungslinie ist in der Technischen Mechanik die Gerade, die die Lage einer vektoriellen Kraft im Raum angibt. Zusammen mit dem Richtungssinn ergibt sie die Richtung in der die Kraft wirkt. Durch Angabe des Betrages, der Richtung und des Angriffspunktes kann somit der Kraftvektor beschrieben werden. 

Wie entsteht die Zugkraft?

Die Zugkraft ergibt in diesem Fall eine Schnittreaktion in Form einer Normalkraft quer zum Querschnitt, in dem sich eine Beanspruchung in Form von mechanischen Spannungen einstellt.

Die Zugkraft F_Z eines Flaschenzuges beispielsweise ergibt sich aus eins durch die Anzahl der Seile n mal der Gewichtskraft F_G,L der Last.

In der Statik ist eine Zugkraft stets als positive (+) Kraft definiert. Eine negative Zugkraft entspricht einer Druckkraft. Positiv ist die Zugkraft, wenn sie auf ihrer Wirkfläche (auch Querschnittsfläche) in Richtung ihrer nach außen orientierten Normalen wirkt. Durch eine ziehende Kraft dehnt sich ein realer Körper. Durch eine Druckkraft kann sich ein Bauteil stauchen.

Ziehen äußere Kräfte an einen Körper in Wirkrichtung seiner Stabachse, so spricht man von einer Zugbeanspruchung.

Oftmals ist die Zugkraft eine umgeleitete Druck- oder Scherkraft. Beispielsweise zieht an einem Kranhaken eine Last, indem sie mit dem Anschlagmittel in den Haken drückt, der die Druckkraft durch seine gebogene Form in eine Zugkraft ins Kranseil umlenkt. 

Allgemein wird eine Kraft durch Verbindungstechniken über Formschluss, Kraftschluss oder Stoffschluss übertragen. Beim Formschluss wirken wie beim Kranhaken Druckkräfte rechtwinklig zu den Flächen der Verbindungspartner. Bei Kraftschluss wird die Kraft wie bei Knoten über die Haftreibung tangential zur Wirkfläche eingebracht. Durch Kraftübertragung werden dann diese Kräfte in Zugkräfte umgeleitet.

Feste Materialien (Stäbe, Stangen, Seile, Ketten etc.) und Stoffschluss können Zugkräfte über atomare oder molekulare Kräfte übertragen, bis ihre Zugfestigkeit erreicht ist.

Als Biegung wird in der technischen Mechanik eine mechanische Veränderung der Geometrie von schlanken Bauteilen, wie Balken oder Bögen oder von dünnen Bauteilen, wie Schalen oder Platten bezeichnet. Typisch für Biegung sind Krümmungsänderungen der Mittellinie oder -fläche gegenüber der Krümmung. Das Bauteil im unbeanspruchten Zustand wird durch statische und dynamische Beanspruchungen verbogen und gekrümmt. Derartige Krümmungen führen zu Biegemomenten und somit zu Biegespannungen.

Durch eine Reduktion der möglichen Dimensionen eines ursprünglichen 3D-Problems wird die Beschreibung der Geometrieveränderung angenähert:

• im Falle von Balken oder Bögen durch eine 1D-Theorie
• im Falle von Schalen oder Platten durch eine 2D-Theorie.

Mit Bestimmung der Biegeverformung kannst du unter Verwendung der kinematischen Gesetzmäßigkeiten der jeweiligen Biegetheorien die Deformations- und Spannungszustände in jedem Punkt des Bauteils berechnen.

Welche Biegung gibt es?

Du solltest zwei verschiedene Biegungen, die aufgrund der Art der Belastung entstehen voneinander unterscheiden können. 

Zum einen erfolgt bei der reinen Biegung die Biegebelastung des Bauteils durch das Aufbringen von zwei Biegemomenten am Ende des Bauteils.

Zum anderen erfolgt bei der Querkraftbiegung, die Biegung des Bauteils durch Kräfte, welche als Querkräfte auf den Balken wirken. Dabei entsteht ein Biegemoment wie bei der reinen Biegung. Und zusätzlich dazu eine Querkraft, welche zu Schubspannungen im Bauteil führen. Diese zusätzliche Querkraft berücksichtigst du bei der Berechnung.

Belastest du lange, dünne Bauteile quer zur Bauteilachse mit einem Biegemoment, entstehen →Zug- und Druckspannungen. Bei einem Balken führt dies zu einer Durchbiegung. 

Eine Biegespannung ist derjenige Spannungsanteil in einer Wandung oder einem Querschnitt. Dieser ist linear über die Wanddicke oder den betrachteten Querschnitt zu erkennen. Dieser Anteil ist über den betrachteten Querschnitt proportional zum Abstand von der neutralen Achse verteilt.

Wo tritt die maximale Biegespannung auf?

Die in einer Querschnitts-Fläche des Balkens aufsummierte Biegespannung ist dem Biegemoment an dieser Stelle proportional. Im Querschnitt verläuft die maximale Biegespannung je nach Belastung vom äußeren Rand als maximaler Druckspannung über die neutralen Zone bis hin zum inneren Rand zu einer maximaler Zugspannung.

Das axiale →Widerstandsmoment ist ein Maß für den Widerstand gegen Durchbiegung. Deshalb wird es oft auch als Biegewiderstandsmoment bezeichnet. Für die Größe des Widerstandsmomentes ist allein die Geometrie der jeweils betrachteten Bauteil-Querschnittsfläche ausschlaggebend.

Zur Berechnung des Widerstandsmomentes ist die Definition der exakten Lage der →neutralen Faser innerhalb des Querschnittes Grundvoraussetzung. Die neutrale Faser verläuft exakt durch den Schwerpunkt des Querschnitts. Ausgehend von dieser Linie lässt sich dann der größtmöglichen Abstand zur Außenkante (Randfaser) ermitteln. Dort sind die höchsten Bauteilbelastungen bzw. die größten Spannungen zu erwarten.

Beanspruchst du einen sehr schlanken Stab auf Druck, dann besteht die Gefahr des seitlichen Ausknickens. Ebenfalls besteht die Gefahr der Knickung, wenn die Stablänge l im Verhältnis zu seiner Querschnittsfläche A sehr groß ist. Das kann auch dann geschehen, wenn der Stab genau in Richtung seiner Achse belastet wird. Und auch dann, wenn die Druckspannung noch unter der Proportionalitätsgrenze (siehe Spannungs-Dehnungsdiagramm oder Hook´sche Gesetz) liegt. 

Die Tragfähigkeit eines solchen Bauteils ist also schon vorher erschöpft. Knickung ist daher auch kein Spannungsproblem wie Zug, Druck, Biegung und Torsion, sondern ein Stabilitätsproblem. Trotz gleicher Querschnittsfläche und gleicher Druckkraft steigt die Gefahr des Ausknickens – seitlichem Wegknicken – mit zunehmender Länge und abnehmendem Querschintt. 

Durch die besondere Problematik der Knickung führte man zur genauen Definition besonderer Größen ein. Die Knickkraft F_K ist diejenige Kraft, bei der das Ausknicken eines Stabes gerade beginnt. Dividierst du die Knickkraft durch die Querschnittsfläche, erhältst du eine Spannung. Diese bezeichnet man als Knickspannung. Entsprechend der Definition der Knickkraft wirkt die Knickspannung dann, wenn der Stab auszuknicken beginnt. 

Da ein Bauteil nicht ausknicken darf, muss die Druckkraft, die durch die tatsächliche Belastung entsteht, wesentlich kleiner bleiben als die Knickkraft. Das gleiche gilt auch für die tatsächlich im Bauteil vorhandene Druckspannung und für die Knickspannung. Knickkraft und Knickspannung sind also Werte, die in der Praxis niemals erreicht werden dürfen. 

Fazit: Die Knickkraft (Knickspannung) ist diejenige Kraft (Spannung), bei der das Ausknicken beginnt. Die vorhandene Druckkraft muss mit Sicherheit unter der Knickkraft bleiben, ebenso die vorhandene Druckspannung unter der Knickspannung. 

Die Eulergleichung bei elastischer Knickung

Für den Fall, dass die Knickspannung noch unterhalb der Proportionalitätsgrenz des Werkstoffes liegt, hat Euler eine Gleichung für die Knickkraft entwickelt. 

Die Knickkraft, also diejenige Kraft, bei der das Knicken gerade beginnen würde, kannst du allein durch die Führungsverhältnisse verändern. Und zwar dann, wenn sich die Stabenden in Richtung der Stabachse aufeinander zu bewegen. Je sicherer es ist, dass die Druckkraft während des Zusammendrückens exakt in der Stabachse wirkt, desto größer kannst du die Knickkraft ansetzen. 

Je höher die Proportionalitätsgrenze des Werkstoffes liegt, umso kleiner ist der Grenzschlankheitsgrad. Das heißt, umso größer wird der Bereich, für den die Eulergleichung gilt. 

Die Eulergleichung gilt nur, solange dein errechneter Schlankheitsgrad gleich oder größer ist als der angegebene Grenzschlankheitsgrad.

Rotationskörper werden in der Geometrie jene Körper genannt, dessen Oberfläche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Rotationsachse gebildet werden. Das Volumen und die Oberfläche kannst du mit den sogenannten Guldinschen Regeln errechnen. Wobei die Rotationsachse auch Figurenachse genannt wird. Die Kurve liegt dabei in einer Ebene und auch die Achse liegt in ebenderselben. Ein bekannter Rotationskörper ist der Torus. Diesen kannst du durch die Rotation eines Kreises bilden. Auch Kegel und Zylinder sind Rotationskörper. 

Volumensberechnung laut Guldinschen Regeln

Das Volumen und die Oberfläche kannst du also mit den sogenannten Guldinschen Regeln errechnen. Ein Rotationskörper entsteht durch Drehung seiner Profilfläche um seine Symmetrieachse. Während einer Drehung „erzeugt“ die Profilfläche das Volumen des Körpers. Man kann sich vorstellen, dass jedes Flächenteilchen an der Erzeugung mit einem bestimmten Anteil beteiligt ist. 

Das kleine Flächenteilchen ∆A erzeugt das Ringvolumen ∆V = 2πx ∆A. Die Summe aller Teilvolumen ist das Gesamtvolumen V. Der Summenausdruck Σ∆A x ist die Momentensumme aller Teilflächen, bezogen auf die Drehachse und damit gleich dem Moment A x0 der ganzen Profilfläche A.

Daraus ergibt sich die Guldinsche Regel für das Volumen:

Das Volumen eines Rotationskörpers ist das Produkt aus der Profilfläche und ihrem Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung. Das Volumen eines Rotationskörpers ist somit gleich dem Produkt aus dem Flächeninhalt der erzeugenden Fläche und dem Umfang des Kreises. Diesen kannst du durch die Rotation des Schwerpunktes dieser Fläche erzeugen.

Wie berechne ich die Oberfläche laut Guldin?

Oberflächen oder Mantelflächen von Rotationskörpern entstehen durch Drehung ihrer Profillinie um die Symmetrieachse. Dabei ist jedes Längenteilchen der Profillinie mit einem bestimmten Flächenanteil beteiligt. 

Die kleine Teillänge ∆l erzeugt bei einer Drehung die Ring äche ∆A = 2πx ∆l. Die Summe aller Teilflächen ist die Mantelfläche A. Der Summenausdruck Σ∆l x ist die Momentensumme aller Teillängen, bezogen auf die Drehachse und damit gleich dem Moment der ganzen Profillinie l.

Daraus ergibt sich die Guldin’sche Oberflächenregel: 

Die Oberfläche (Mantelfläche) eines Rotationskörpers ist das Produkt aus der Länge der Profillinie und ihrem Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung. Der Flächeninhalt A einer Mantelfläche eines Rotationskörpers, dessen Rotationsachse die erzeugende Linie nicht schneidet, ist gleich dem Produkt aus der Länge der erzeugenden Linie (Profillinie) und dem Umfang des Kreises (Schwerpunktkreis), der durch die Rotation des Schwerpunktes der Profillinie erzeugt wird.