Was ist ein Term in der Mathematik?

In der Mathematik ist ein Term eine sinnvolle Kombination aus Zahlen, Variablen, Symbolen für mathematische Verknüpfungen und Klammern. Terme können als die syntaktisch korrekt gebildeten Wörter oder Wortgruppen in der formalen Sprache der Mathematik gesehen werden.

In der Praxis benutzt man den Begriff häufig, um über einzelne Bestandteile einer Formel oder eines größeren Terms zu reden.

Der Begriff „Term“ wird umgangssprachlich für alles verwendet, das eine Bedeutung trägt. Im engeren Sinn sind mathematische Gebilde gemeint, die man prinzipiell ausrechnen kann, zumindest wenn man den darin enthaltenen Variablen Werte zugewiesen hat. So ist zum Beispiel x + y ein Term, denn weist man den darin enthaltenen Variablen x und y einen Wert zu, so erhält auch der Term einen Wert. Statt Zahlen können hier auch andere mathematische Objekte in Betracht kommen.  

Grob kann man sagen, dass Terme eine Seite einer →Gleichung oder Relation, z. B. einer Ungleichung, sind. Die Gleichung oder Relation selbst sind keine Terme, sie besteht aus Termen.

Was ist ein Term mit Variablen?

Bildet man Terme mit Variablen, so beabsichtigt man in Anwendungen häufig ein Ersetzen dieser Variablen durch bestimmte Werte, die einer gewissen Grundmenge bzw. →Definitionsmenge entstammen. Zum Begriff des Terms selbst ist die Angabe einer solchen Menge nach obiger, formaler Definition nicht erforderlich. Man interessiert sich dann nicht mehr für den abstrakten Term, sondern für eine durch diesen Term definierte Funktion in einem bestimmten Modell.

Der Begriff des Terms sieht gemäß Definition Umformungen nicht vor, es handelt sich jeweils um verschiedene Terme. Mit diesen algebraischen Umformungen ist stets gemeint, dass sich die Werte, die ein Term bei Wahl einer bestimmten Grundmenge annehmen kann, durch diese Umformungen nicht ändern. Das hängt von der Grundmenge ab! So sind obige Umformungen nur in solchen Grundmengen korrekt, in denen die verwendeten Gesetze wie zum Beispiel das →Kommutativgesetz gelten. Solche algebraischen Umformungen nennt man trotzdem Termumformungen. Man geht nach in der vereinbarten Grundmenge geltenden Regeln von einem Term zu einem anderen über, ohne dessen mögliche Werte zu ändern.

Dezimalzahlen

Dezimalzahlen nennt man die Zahlen, in denen ein Komma vorkommt (zum Beispiel 6,4 oder 0,7). Die Stellen rechts vom Komma nennt man Dezimalstellen. Die erste Nachkommastelle steht für die Zehntel, die zweite steht für Hundertstel, die dritte für Tausendstel und so weiter.

Was sind Kommastellen?

Dezimalzahlen werden dazu verwendet um nicht-ganze Zahlen darzustellen, sprich Teile an etwas Ganzem. Man unterscheidet dabei zwischen den Stellen vor und nach dem Komma. Diese nennt man daher auch Vorkommastellen und Nachkommastellen. Die Stellen rechts vom Komma bezeichnet man außerdem noch als Dezimalstellen.

Die Nachkommastellen sind die Stellen hinter dem (rechts vom) Komma einer Dezimalzahl oder allgemeiner einer nicht-ganzen Zahl, die mit einem Stellenwertsystem als Kommazahl dargestellt wird. Im ersten Fall spricht man auch von Dezimalstellen oder Dezimalen.

Wie rechnest du mit Dezimalzahlen?

Du multiplizierst zwei Dezimalzahlen, indem du für die Rechnung zunächst das Komma weglässt. Anschließend zählst du die Nachkommastellen der Faktoren und setzt das Komma an der entsprechenden Stelle im Ergebnis.

Bei der Division von zwei Dezimalzahlen verschiebst du zunächst das Komma in beiden Zahlen gleich weit um so viele Stellen nach rechts, dass der Divisor eine natürliche Zahl ist. Die Verschiebung des Kommas bedeutet, dass beide Zahlen mit der gleichen Zehnerpotenz multipliziert werden.

Bei der Multiplikation mit 10 wurde also eine 0, bei der Multiplikation mit 100 zwei 0 und bei der Multiplikation mit 1000 drei 0 an den ersten Faktor angehängt.

Ist beim Multiplizieren einer der beiden Faktoren eine Dezimalzahl, so muss das Ergebnis der Multiplikation genau so viele Dezimalstellen (= Kommastellen) haben wie der 1. Faktor.

Sind beim Multiplizieren beide Faktoren Dezimalzahlen, so muss das Ergebnis der Multiplikation genau so viele Dezimalstellen (= Kommastellen) haben wie die beiden Faktoren zusammen.

Periodische Dezimalzahlen entstehen bei der Division mit Rest, wenn du den Rest weiter dividierst. Hat der Divisor nur die Primfaktoren 2 oder 5, so erhältst du eine Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen. Hat der Divisior als Teiler 3 oder 7, 11, usw. so erhältst du eine periodische Dezimalzahl.

Was ist Geometrie?

Üblicherweise werden in der Geometrie Geräte wie Zirkel, Lineal und Geodreieck, aber auch der Computer verwendet. Die →Geometrie befasst sich mit geometrischen Transformationen oder dem Messen von geometrischen Größen wie Länge, Winkel, Fläche, Volumen, Verhältnisse usw. Auch komplexere Objekte wie spezielle Kurven oder Kegelschnitte kommen vor. Darstellende Geometrie ist die zeichnerische Darstellung der dreidimensionalen euklidischen Geometrie in der (zweidimensionalen) Ebene.

Welche Grundbegriffe git es in der Geometrie?

Unter einem Quadrat versteht man ein ebenes Viereck mit vier rechten Winkeln und gleich langen Seiten. Ein Quadrat besitzt vier Spiegelungsachsen, nämlich seine Mittellinien, das sind die Verbindungsgeraden der Mitten gegenüberliegender Seiten und die beiden Diagonalen.

Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck, nämlich eines mit lauter gleich langen Seiten. Auch ist jedes Quadrat  eine Raute, nämlich eine mit vier rechten Winkeln. Und jedes Quadrat ist außerdem auch ein Parallelogramm, ein symmetrisches Trapez und ein Drachenviereck.

Unter einem Rechteck versteht man ein ebenes Viereck mit vier rechten Winkeln. Insbesondere ist ein Rechteck stets ein konvexes Viereck. Da wegen der rechten Winkel die Gegenseiten parallel zueinander sind, handelt es sich um ein Parallelogramm.

Jedes →Dreieck hat drei Eckpunkte, drei Seiten und drei Winkel. … Für Winkel werden kleine griechische Buchstaben verwendet (zum Beispiel α, β und γ). Dabei ist α der Winkel am Eckpunkt A, β liegt am Eckpunkt B und γ am Eckpunkt C. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180 °

Dreiecke können nach ihren Seitenlängen oder ihren Winkeln eingeteilt werden. Um ein Dreieck eindeutig konstruieren zu können, müssen mindestens drei Bestimmungsstücke (Seiten oder Winkel) bekannt sein. Eines dieser Bestimmungsstücke muss eine Seitenlänge sein.

Dreiecke mit drei spitzen Winkeln heißen spitzwinklige Dreiecke, mit einem stumpfen Winkel heißen sie stumpfwinklig. Mit einem rechten Winkel heißen sie rechtwinklige Dreiecke. Im rechtwinkligen Dreieck bilden die Katheten den rechten Winkel.

Das allgemeine Dreieck entsteht, wenn man drei beliebige, nicht auf einer Geraden liegende Punkte A, B und C durch Strecken verbindet. … Die Aussagen lassen sich auch auf stumpfwinklige Dreiecke, also Dreiecke mit einem stumpfen Innenwinkel, übertragen.

Satz von Pythagoras für Rechtwinkelige Dreiecke?

Der Satz von Pythagoras, auch Pythagoräische Lehrsatz genannt, besagt folgendes. Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der beiden Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse. Mathematisch ausgedrückt lautet der Satz des Pythagoras a² + b² = c²

Der Pythagoräische Lehrsatz ist einer der fundamentalen Aussagen der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass in allen Ebenen rechtwinkliger Dreiecke die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypothenusenquadrates ist.

Als Hypotenuse bezeichnet man die längste der drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie ist immer diejenige Seite, die gegenüber dem rechten Winkel liegt. Die anderen beiden Seiten bezeichnet man als Katheten. Kennt man die Längen der beiden Katheten kann man damit die Hypotenuse berechnen. Durch geschicktes Umformen können alle Seiten bei gegebener Hypothenuse und einer Seite errechnet werden.

Wann darf ich den Pythagoras verwenden?

Den Satz des Pythagoras darfst du nur anwenden, wenn ein rechter Winkel im Dreieck vorliegt. Die beiden Seiten des Dreiecks, die an diesem Rechten Winkel (90°) liegen, werden üblicherweise mit a und b bezeichnet und die Hypotenuse wird als c bezeichnet.

Wie bei einem →allgemeinen Dreieck gilt auch für ein →Rechtwinkeliges Dreieck, dass die drei Begrenzungslinien des Dreiecks Seiten genannt und diese meist mit Kleinbuchstaben (a, b, c) beschriftet werden. Die Seite a liegt gegenüber dem Eckpunkt A, die Seite b gegenüber dem Eckpunkt B, und die Seite c liegt gegenüber dem Eckpunkt C. Die Summe der drei Innenwinkel beträgt

Winkel werden in Grad (kurz: ° ) und gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Ein Geodreieck hat zwei Skalen zum Messen von Winkeln, eine Seitenskala und eine innere Skala.

Ein rechter Winkel ist ein Winkel von 90° und damit der vierte Teil eines Vollwinkels zu 360°. Zwei Geraden oder Strecken, die sich in einem rechten Winkel schneiden oder berühren, werden als rechtwinklig, senkrecht oder orthogonal bezeichnet.

Winkel messen – Vorgehensweise

  • Das Geodreieck muss mit dem Nullpunkt auf dem Scheitelpunkt des Winkels liegen.
  • Die eine Hälfte der langen Seite des Geodreiecks muss außerdem auf einer der beiden Halbgeraden liegen.
  • Nun musst du noch die richtige Winkelskala auswählen …
  • Jetzt kannst du die Größe des Winkels ablesen.

Bruchzahlen

Die Bruchzahlen sind definiert als Quotient aus ganzer Zahl und natürlicher Zahl. Das eigentlich Verwirrende daran ist aber, dass man in der Schule zuerst die natürlichen Zahlen kennen lernt, dann die Bruchzahlen, danach die ganzen Zahlen und später erst die rationalen Zahlen. Deshalb können wir erst einmal die Bruchzahlen nur mit natürlichen Zahlen (also positiven ganzen Zahlen) definieren.

Was sind Zähler und Nenner bei Bruchzahlen?

Für Zähler und Nenner dürfen beliebige natürliche Zahlen stehen (später lassen wir auch negative Zahlen zu, sodass ganze Zahlen auch erlaubt wären). Der Strich heißt Bruchstrich und macht genau das, was wir bis jetzt durch das Geteilt-Zeichen ausgedrückt haben. Er teilt den Zähler durch den Nenner. Im Nenner darf übrigens keine Null stehen, aber da der Nenner immer eine natürliche Zahl ist und wir die natürlichen Zahlen ohne Null definiert haben, besteht die Gefahr nicht.

Bruchzahlen zu kürzen bedeutet, den Zähler und den Nenner des Bruchs durch die gleiche Zahl zu teilen. Dabei darfst du nicht durch die Zahl 0 teilen.

Ein Bruch erweitern bedeutet, den Zähler und den Nenner des Bruchs mit der gleichen Zahl zu multiplizieren. Eine Multiplikation mit Null ist dabei nicht zulässig.

Die Rechenregeln beimBruchrechnen

Brüche addieren und subtrahieren. Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren , musst du diese zunächst auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen. Dann addierst oder subtrahierst du lediglich die Zähler. Der gemeinsame Nenner bleibt gleich.

Zwei Brüche multiplizierst du miteinander, indem du sowohl die beiden Zähler, als auch die beiden Nenner miteinander multiplizierst. …
Trick 1: Brüche VOR dem Multiplizieren Kürzen! … Trick 2: „über Kreuz“ Kürzen! …

So funktioniert die Division von Brüchen, der erste Bruch bleibt wie er ist. Statt dem dividiert schreibst du mal geschrieben. Der zweite Bruch wird umgedreht, Zähler und Nenner vertauscht. Die beiden „neuen“ Brüche multiplizierst du dann. Genauso, wie du Brüchen multiplizierst: Zähler · Zähler und Nenner · Nenner.

Ein Doppelbruch ist in der Mathematik ein Term, bei dem ein Bruch durch einen weiteren Bruch geteilt wird. Es ist möglich, statt des üblichen Zeichens für Division einen weiteren Bruchstrich zu schreiben, bei dem Zähler und Nenner wiederum Brüche sind. Doppelbrüche lassen sich durch Erweitern mit einem geeigneten Faktor vereinfachen.

Folgende Regel ist bekannter und einfacher zu verstehen: Doppelbrüche werden vereinfacht, indem der Zählerbruch mit dem Kehrwert des Nennerbruchs multipliziert wird.

Die Ganzen Zahlen

Die „Ganzen Zahlen“ (auch Ganzzahlen) sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen. Diese Menge an Zahlen umfassen alle Zahlen …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … und enthalten damit alle natürlichen Zahlen sowie deren additive Inverse (Gegenzahl). Die Menge dieser Zahlen wird meist mit dem Buchstaben mit Doppelstrich Z bezeichnet.

In der Mathematik werden durch die Begriffe Nachfolger und Vorgänger die gedanklichen Konzepte der Abstammung oder Amtsnachfolge und des Zählens formalisiert und verallgemeinert.

Was ist ein Nachfolger bei den „ganzen Zahlen“?

Beim Zählen ist der Nachfolger einer ganzen Zahl intuitiv die nächstgrößere Zahl: So ist etwa 2 der Nachfolger von 1, 3 der Nachfolger von 2 usw. Beim Abwärtszählen kommt man von 9 zu ihrem Vorgänger 8 usw. Diese an sich naive Entdeckung, die Kinder immer wieder im Spiel nachvollziehen, kann man zu einer mathematischen Charakterisierung der natürlichen Zahlen formalisieren.

Beim Aufwärts- und Abwärtszählen stellt man fest, dass es auf die Bedeutung der Zahlwörter gar nicht ankommt, sondern nur auf ihre Reihenfolge. Diese Feststellung lässt eine Verallgemeinerung der Zählnachbarn Vorgänger und Nachfolger auf Graphen und geordnete Mengen zu

Der Betrag einer Zahl ergibt sich als der Abstand der Zahl auf dem Zahlenstrahl von der Null. Man erhält ihn durch Weglassen des Vorzeichens

Wie lauten die Rechengesetze?

Das →Kommutativgesetz der Addition besagt, dass sich das Ergebnis einer Addition nicht ändert, wenn man die Reihenfolge der Summanden vertauscht. Summanden darf man vertauschen!

Das Kommutativgesetz der Multiplikation besagt, dass sich das Ergebnis einer Multiplikation nicht ändert, wenn man die Reihenfolge der Faktoren vertauscht. Faktoren darf man vertauschen!

Das →Assoziativgesetz, auf Deutsch Verknüpfungsgesetz oder auch Verbindungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik. Eine Verknüpfung ist assoziativ, wenn die Reihenfolge der Ausführung keine Rolle spielt. Anders gesagt: Die Klammerung mehrerer assoziativer Verknüpfungen ist beliebig.

Das →Distributivgesetz ist im Grunde ein Gesetz zum Ausmultiplizieren von Klammern. Das bedeutet, man hat ein Produkt (oder Quotienten) aus einer Zahl und einer Klammer – oder auch aus zwei Klammern. In diesen Klammern stehen Summen oder Differenzen.

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