Was ist eine Federkraft?

Die Federkraft ist eine Kraft. Verformt sich ein Körper elastisch, wirkt diese Kraft. Sie wirkt entgegen der ausgeübten Kraft an der Feder und versucht den Körper in die Ursprungsform zurückzubringen. Diese Kraft wird auch Spannkraft oder Federspannkraft genannt. Die Federkraft ist das Negative des Produkts aus Federkonstante und ihrer Änderung aus der Ruhelänge.

Die Federkraft kommt nicht nur bei klassischen Federn, wie Druckfedern, Zugfedern und Schenkelfedern vor, sondern existiert auch für andere elastische Körper. Ein wichtiges Thema ist die Federkraft daher unter anderem in der Mechanik und Werkstofftechnik. Zur Berechnung der Krafteinwirkung bei elastischen Körpern, wie einer Feder, wird das Hooke´sche Gesetz F = R ⋅ s verwendet. Wobei F die Federkraft, R die Härte der Feder (Materialkonstante) und s die Auslenkung (Federweg) sind.

Was ist die Federkonstante?

Die Federkonstante R, auch Federsteifigkeit, Federhärte, Federrate oder auch Direktionskonstante genannt, gibt das Verhältnis der auf eine Feder wirkenden Kraft zur dadurch bewirkten Auslenkung der Feder an. Die Federkonstante hängt sowohl von Material und Form der Feder als auch von der Belastungsrichtung ab. Eine direkte Bestimmung der Federkonstante erhält man durch einen Zugversuch, bei dem man eine Kraft F anlegt und die Auslenkung bzw. Längenänderung in Richtung der angelegten Kraft misst. Daraus ergibt sich die Federkonstante R.

In welche Richtung zeigt die Federkraft?

Spannst du eine Feder nach unten, so muss die Federkraft nach oben wirken. Drückst du hingegen eine Feder, die am oberen Ende befestigt ist, zusammen, also nach oben, so wirkt die Federkraft nach unten. Die Federkraft wirkt immer genau in entgegengesetzter Richtung zur Kraft die die Auslenkung bewirkt.

Was ist die Auslenkung einer Feder?

Als Auslenkung oder Elongation wird bei einer Schwingung die momentane Entfernung x eines Punktes P bezogen auf seine Ruhelage bezeichnet. Die größte Auslenkung wird Amplitude genannt und durch das als Maximalwert gekennzeichnet. Somit ergibt sich für die Auslenkung einer Feder genau jener Federweg, der für die angreifenden Kraft gilt. Mit Auslenkung ist somit die absolute Verlängerung der Feder oder ihre Verdrehung gemeint. Achtung: Nur bei linearen Federn ist die Kraft proportional zur Auslenkung.

Trägheitsmoment

Das Trägheitsmoment, auch Massenträgheitsmoment oder Inertialmoment, gibt die Trägheit eines starren Körpers gegenüber einer Änderung seiner Winkelgeschwindigkeit bei der Drehung um eine gegebene Achse an (Drehmoment geteilt durch Winkelbeschleunigung). Damit spielt es die gleiche Rolle wie die Masse im Verhältnis von Kraft und Beschleunigung.

Als Trägheit wird der Widerstand eines Körpers bezeichnet, den er einem von außen kommenden Bewegungsimpuls entgegensetzt. Sie beschreibt somit jene Kraft, die den Körper seinen Ruhe- oder Bewegungszustand beibehalten lässt. Das Gesetz der Trägheit ist im 1. Newton´schen Axiom (Inertialgesetz) definiert.

Was sagt das Trägheitsmoment aus?

Die analogen Größen bei der Rotation sind des Drehmoment und das Trägheitsmoment. Dieses gibt an, wie träge ein drehbar gelagerter Körper gegenüber der Änderung seines Bewegungszustandes ist.

Es hängt von der Massenverteilung in Bezug auf die Drehachse ab. Je weiter ein Massenelement von der Drehachse entfernt ist, desto mehr trägt es zum Trägheitsmoment bei. Der Abstand geht quadratisch in die Berechnung ein. Nimmt die Dichte des Körpers zur Drehachse hin zu, ist sein Trägheitsmoment kleiner, als wenn seine Masse im selben Volumen homogen verteilt wäre.

Ist die Drehachse nicht fest vorgegeben, so reicht zur Beschreibung des Trägheitsverhaltens eine einzelne Zahl nicht aus. Aus dem Trägheitstensor kannst du das Moment der Trägheit für jede beliebige Achse durch den Schwerpunkt berechnen.

Ist das Trägheitsmoment IS für eine Achse durch den Schwerpunkt eines Körpers bekannt, so ist das Trägheitsmoment IP für eine beliebige parallel verschobene Drehachse

IP = IS +md2

Dabei gibt d den Abstand des Schwerpunkts von der parallel verschobenen Drehachse an.

Man kann den Steinerschen Satz für zwei beliebige parallele Drehachsen verallgemeinern. Dazu musst du den Satz zweimal hintereinander angewenden. Zunächst wird die Drehachse so verschoben, dass sie durch den Schwerpunkt des Körpers geht und danach auf den gewünschten Zielort.

Wo wirkt es?

Das Trägheitsmoment ist die Kraft, die der Änderung der Winkelgeschwindigkeit entgegenwirkt. Es muss überwunden werden, um eine Drehbewegung zu erzielen. Abseits eines Vakuums musst du immer Energie aufgewenden, um Bewegung zu erzeugen oder zu halten. Das gilt auch für Drehungen.

 

Hochpunkt- Tiefpunkt – Extremwert – Extremstelle

Extremstelle

In der Mathematik ist ein Extremwert der Oberbegriff für ein lokales oder globales Maximum oder Minimum. Ein lokales Maximum oder Minimum ist der Wert der Funktion an einer beliebigen Stelle x, wenn in einer hinreichend kleinen lokalen Umgebung die Funktion f(x) keine größeren oder kleineren Werte annimmt

Was ist eine Extremstelle?

Die zugehörige Stelle wird lokale Maximalstelle (Hochpunkt) bzw. Minimalstelle (Tiefpunkt) genannt. Allgemein kannst du alle Maxima und Minima auch als Extremstellen und die Kombination aus Stelle x und Wert f(x) als Extrempunkt bezeichnen. Alle Extrempunkte haben daher eine X- und eine Y-Koordinate. Die Extremstellen aber lediglich eine X-Koordinate

Ein globales Maximum wird auch absolutes Maximum genannt. Für ein lokales Maximum wird auch der Begriff relatives Maximum gebraucht. Lokale und globale Minima sind analog dazu gleich definiert.

Vereinfacht kannst du die Extremwerte einer Funktion in zwei Schritten bestimmen:

  1. Die erste Ableitung der Funktion wird null gesetzt (notwendige Bedingung). Dadurch erhältst du alle Stellen der waagerechten Tangenten der Funktion.
  2. Mithilfe der zweiten Ableitung ermittelst du noch das Krümmungsverhalten an diesen Stellen und überprüfst die hinreichende Bedingung für einen Extremwert. Als hinreichende Bedingung gilt, dass die zweite Ableitung nicht 0 ist.

In einigen wenigen Fällen versagt dieses einfache Verfahren jedoch. Wenn nämlich die zweite Ableitung Null ist. Du könntest dann noch die dritte Ableitung prüfen, wenn diese nicht Null ist, handelt es sich wahrscheinlich um einen Sattelpunkt.

Es gibt einen Sonderfall

Für den Fall, das auch die dritte Ableitung verschwindet, gilt folgendes:

Besitz die Funktion eine waagerechte Tangente bei xo, dann ist die nächste nicht verschwindende Ableitung die sogenannte n-te Ableitung. Wenn die n-te Ableitung eine gerade Ordnung besitzt und beim Einsetzen der Extremstelle x0 in die n-te Ableitung ein Wert größer 0 herauskommt, handelt es sich um eine Minimumstelle. Bei einem Wert kleiner 0, um eine Maximumstelle. 

Ist die Ordnung n jedoch ungerade, handelt es sich an der Stelle x0 um einen Sattelpunkt.

Klingt alles ein bisschen verwirrend, aber diese Konstellation kommt jedoch sehr selten vor. Es reicht meistens, die vereinfachten zwei Schritte auszuführen.

Wie löst man eine Extremwertaufgabe

Extremwertaufgabe

Bei einer Extremwertaufgabe ist der kleinste oder der größte Wert einer Funktion f(x) zu bestimmen. Es wird also ein Maximal- oder Minimalwert gesucht. Dies ist vor allem bei Berechnungen für maximale Kosten, Material, Volumen, Flächen etc. von großer Bedeutung.

Problemaufgaben dieser Art werden gelöst, indem man zunächst die im Inneren eines vorgegebenen Intervalls liegenden relative Extremwerte mithilfe der Differentialrechnung ermittelt. Bei einem offenen Intervall muss der kleinste bzw. größte Wert lediglich im Inneren des Intervalls liegen. Dadurch ergibt sich automatisch ein relativer Extremwert.

Was ist eine Zielfunktion?

Jene Funktion deren absolutes Maximum oder Minimum im Intervall bestimmt werden soll, bezeichnet man als Zielfunktion.

Diese Zielfunktion ist am Anfang der Lösungsfindung selbstverständlich unbekannt und du musst sie dementsprechend aufgestellen.

Beim Aufstellen der Zielfunktion sollte immer überlegt werden, welches Maximum bzw. Minimum gefordert ist. Ist beispielsweise ein maximales Volumen gefordert, stellst du eine Funktion (Formel) zur Berechnung des Volumens auf. Diese entstehende Zielfunktion ist oft von mehr als einer Variable abhängig.  

Diese Variablen sind jedoch nicht unabhängig voneinander. Sie sind durch Nebenbedingungen miteinander verbunden. Durch Verwendung von elementar geometrischen Lehrsätzen (Strahlensätze, Satz des Pythagoras, Höhensatz etc.) können die Nebenbedingungen mathematisch dargestellt werden. 

Wie löse ich eine Extremwertaufgabe?

Die Zielfunktion bildest du so um, dass lediglich  eine Unbekannten mehr existiert. Durch geschicktes Umformen nach einer Variable und Einsetzen der Nebenbedingung(en) in die Zielfunktion ist dies einfach erreichbar.

Mithilfe der Nebenbedingungen lässt sich dann die Zielfunktion so darstellen, dass sie nur mehr von einer Variable abhängig ist.

Die Zielfunktion differenzierst (ableiten) du im Anschluss nach dieser einen Variable. Die differenzierte Zielfunktion setzt du Null und ermittelst den Maximal- oder Minimalwert.

Zur Überprüfung solltest du auch die zweite Ableitung bilden und die Extrema auf Maximum bzw. Minimum überprüfen. Um zu verhindern, dass du ein falsches Ergebnis berechnet hast, solltest du diese Werte mit dem Randwerten des Intervalls vergleichen.

Mithilfe der Differentialrechnung können lediglich relative Extremwerte mit waagerechter Tangente berechnet werden. Trifft dies nicht zu handelt es sich um einen sogenannten Sonderfall eines Randextremwertes.

Extremwertaufgabe lösen – Vorgehensweise

  1. Bestimme die Zielfunktion. Bilde zu dem Sachverhalt, den du maximieren oder minimieren möchtest, die passende Funktion.
  2. Nebenbedingung aufstellen
  3. Nebenbedingung nach einer Variable umformen
  4. Variable in Zielfunktion einsetzen
  5. Extremwert berechnen (1. Ableitung bilden und Null setzen)
  6. Zweite Variable bestimmen

Impuls und Impulssatz

Mithilfe des Impulssatz (Impuls) kannst du die Geschwindigkeit v nach einem Stoß ermitteln. Sofern du die Geschwindigkeit vor dem Stoß gegeben hast und die Kraft 𝐹 entweder konstant oder als Funktion der Zeit f(t) gegeben ist. Für die Bestimmung der Geschwindigkeit v aus dem Newton´schen Gesetz sind dazu folgende zwei Schritte erforderlich:

  • Zunächst bestimmst du die Beschleunigung 𝑎
    aus: ∑𝐹=𝑚𝑎
  • dann integrierst du ∫a 𝑑𝑡 = ∫𝑑v

Was bedeutet der Impulssatz?

Das bedeutet, dass der Impulssatz als Alternative zum Newton´schen Gesetz verwendet werden kann. Vor allem dann, wenn die Zeit als wesentlicher Faktor in der Berechnung mitberücksichtigt werden muss. Es gibt aber auch Fälle, da kann das Newton´sche Gesetz nicht verwendet werden. Dort muss die Aufgabenstellung dann schlussendlich mit dem Impulssatz gelöst werden.

Was ist der Impuls?

Der Impuls wird in der Physik verwendet, um den Bewegungszustand eines Körpers genau zu beschreiben. Er hängt von der Masse des Körpers und seiner Geschwindigkeit ab. Wenn zum Beispiel ein Körper beschleunigt, wird auch sein Impuls größer.

Wenn der Impuls eines Körpers verändert wird, so verändert sich die Geschwindigkeit von diesem mit. Eine Veränderung des Impulses für eine bestimmte Zeit entspricht der Kraft, die einwirkt.

Dass es keine Rolle spielt, ob ein Massepunkt oder ein Massepunktsystem betrachtet wird, beruht auf dem →Schwerpunktsatz. Dieser besagt nämlich, dass sich der Massenschwerpunkt eines Systems genauso bewegt, als ob alle Massenpunkte in ihm vereinigt sind und alle äußeren Kräfte nur auf ihn wirken.

Was ist die Impulserhaltung?

Der Impulserhaltungssatz kannst du aus dem zweiten und dritten Newtonschen Axiom herleiten. Wenn keine Kraft auf eine zu untersuchende Masse wirkt, so muss die Differentiation (die Ableitung) des Impulses zwingend Null sein. Das bedeutet, dass der Impuls konstant sein muss. Daraus ergibt sich der Impulserhaltungssatz, dass die Veränderung des Impulses in einem kräftemäßig abgeschlossenen System ebenfalls gleich null ist.

Dabei ist es egal, ob ein Massepunkt oder ein System von Massenpunkten betrachtet wird. Dieser Zusammenhang gilt immer. Als ein kräftemäßig abgeschlossenes System wird ein System bezeichnet, auf das keine Kraft von außen wirkt, die den Impuls verändern könnte.

Flächenpressung

Eine Flächenpressung ist die Kraft pro Kontaktfläche zwischen zwei Körpern. Sie ist somit eine Druckspannung. Wenn du zwei (Fest)Körper mit einer Kraft F gegeneinander drückst, ergibt sich in den Berührungsflächen zwischen den Körpern eine sogenannte Normallastverteilung. Vereinfacht kannst du dir diese unendliche Anzahl an kleinen Einzelkräften in der Normalkraftverteilung als Einzelkraft ansehen.

Die Normallastverteilung wird normalerweise in der Einheit Pascal (1 Pa = 1 N/m2 bzw. 1 MPa = 1 N/mm2) angegeben.

Die Flächenpressung hat – wie eine Spannung – eine Richtung, und sie muss nicht notwendigerweise über die Kontaktfläche konstant verteilt sein. Neben der Normalkraft FN, die auf die Bauteile wirkt, sind auch Materialeigenschaften als ein weiterer wesentlicher Faktor für diese Beanspruchung verantwortlich. 

Auch sind zusätzlich die Oberflächenkonturen der beteiligten Körper für die Lastverteilung an den Kontaktfläche und die Größe der Kontaktfläche ausschlaggebend.

Für linear-elastische Werkstoffe gilt das Hook´sche Gesetz. Berechnen aknnst du die Flächenpressung üblicherweise auf Basis der Halbraumtheorie. Für spezielle, einfache Körper kannst du die Gleichungen der hertzschen Pressung anwenden.

Es gilt dabei, dass der Druck das Verhältnis zwischen Kraft zur Fläche ist, p = FN/A. Dabei entnimmst du die zulässige Flächenpressung pzul , auch Grenzflächenpressung genannt, einer Werkstofftabelle. FN ist die Normalkraft, die auf die Kontaktfläche A wirkt.

Wo tritt Flächenpressung auf?

zwischen…

  • den Zahnflanken von Zahnrädern 
  • Bolzenkopf und Auflage
  • Bremsbelägen und Bremsscheibe
  • dem Kopf einer Schraube und dem zu verschraubenden Teil
  • Rad und Schiene bei Eisenbahnen und Kranbahnen
  • Wälzkörper und Laufbahn von Wälzlagern
  • zwei Bauteilen, die kraftschlüssig über Pressfügen verbunden sind
  • etc.

Was ist die Ursache der Flächenpressung?

Ursache jeder Flächenpressung p ist eine auf die Kontaktfläche senkrecht wirkende Kraft FN. Diese musst du häufig erst aus einer beliebig gerichteten Kraft bestimmen. Werden zwei ebene Flächen aneinander gepresst, somit gilt, dass die Flächenpressung p ist der Quotient aus der normalen Kraft FN und dem Flächeninhalt A der Berührungsfläche ist. Je nach vorliegender Aufgabe stellst du die Flächenpressungs-Hauptgleichung nach der gesuchten Größe um.

Im Maschinenbau musst du häufig Aufgaben lösen, in denen die Flächenpressung auf geneigten ebenen Flächen zu bestimmen ist. Wie beispielsweise zwischen den Gleitflächen einer Prismenführung.

Sind die Flächeninhalte der Gleitflächen bekannt, kannst du die Flächenpressung berechnen. Im Zweifelsfalle nimmst du dabei den Weg über das exakte Freimachen und das Bestimmen der normalen Kräfte. Jedoch ist es in vielen praktischen Fällen einfacher mit der projizierten Fläche zu rechnen.

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