Zugkraft und Zugbeanspruchung

Als Zugkraft wird in der Statik in Anlehnung an den allgemeinen Sprachgebrauch eine Kraft bezeichnet, die an einem Körper zieht. 

Kräfte werden in der Praxis normalerweise in Newton angegeben. Dies entspricht also der Kraft, die benötigt wird, um ein Gewicht der gegebenen Schwere entgegen der Schwerkraft zu halten.

Zugspannungen entstehen durch Kräfte, die ein Bauteil mittig auf Zug beanspruchen. Druckspannungen entstehen, wenn auf ein Bauteil Druckkräfte wirken.

Die Wirklinie oder Wirkungslinie ist in der Technischen Mechanik die Gerade, die die Lage einer Kraft im Raum angibt. Zusammen mit dem Richtungssinn ergibt sie die Richtung. Durch Angabe des Betrages, der Richtung und des Angriffspunktes kann ein Kraftvektor beschrieben werden. 

Wie entsteht die Zugkraft?

Die Zugkraft ergibt in diesem Fall eine Schnittreaktion in Form einer Normalkraft quer zum Querschnitt, in dem sich eine Beanspruchung in Form von mechanischen Spannungen einstellt.

Die Zugkraft FZ einem Flaschenzug beispielsweise ergibt sich aus eins durch die Anzahl der Seile n mal der Gewichtskraft FL der Last.

In der Statik ist eine Zugkraft stets als positive (+) Kraft definiert. Eine negative Zugkraft entspricht einer Druckkraft. Positiv ist die Zugkraft, wenn sie auf ihrer Wirkfläche (auch Querschnittsfläche) in Richtung ihrer nach außen orientierten Normalen wirkt. Durch eine ziehende Kraft dehnt sich ein realer Körper und staucht sich durch eine Druckkraft.

Ziehen äußere Kräfte an einen Körper in Wirkrichtung seiner Stabachse, so spricht man von einer Zugbeanspruchung.

Oftmals ist die Zugkraft eine umgeleitete Druck- oder Scherkraft. Beispielsweise zieht an einem Kranhaken eine Last, indem sie mit dem Anschlagmittel in den Haken drückt, der die Druckkraft durch seine gebogene Form in eine Zugkraft ins Kranseil umlenkt. 

Allgemein wird eine Kraft durch Verbindungstechniken über Formschluss, Kraftschluss oder Stoffschluss übertragen. Beim Formschluss wirken wie beim Kranhaken Druckkräfte rechtwinklig zu den Flächen der Verbindungspartner, bei Kraftschluss wird die Kraft wie bei Knoten über Haftreibung tangential zur Wirkfläche eingebracht. Durch Kraftübertragung werden dann diese Kräfte in Zugkräfte umgeleitet.

Feste Materialien (Stäbe, Stangen, Seile, Ketten etc.) und Stoffschluss können Zugkräfte über atomare oder molekulare Kräfte übertragen, bis ihre Zugfestigkeit erreicht ist.

Nichtlineare analytische Geometrie in der Ebene

Die analytische Geometrie ist Teilgebiet der Geometrie. In der elementaren Geometrie wird ein Kreis als Menge aller Punkte mit einem festen Abstand zu einem vorgegebenen Punkt definiert. Die Kreisgleichung beschreibt so jeden Punkt (x,y), der den Abstand r zum Mittelpunkt hat. Ein Kreis (bzw. eine Kreislinie) ist eine Linie in der Ebene bei der jeder Punkt denselben Abstand zu einem bestimmten Punkt, den sogenannten Mittelpunkt, hat. Diesen Abstand nennt man Radius  und wird mit dem Buchstaben r bezeichnet.

Ein Kreis ist eine ebene geometrische Figur. Man definiert ihn als die Menge aller Punkte einer Ebene, die einen konstanten Abstand zu einem vorgegebenen Punkt dieser Ebene (dem Mittelpunkt) haben. Der Abstand der Kreispunkte zum Mittelpunkt ist der Radius oder Halbmesser des Kreises, er ist eine positive reelle Zahl. Der Kreis gehört zu den klassischen und grundlegenden Objekten der euklidischen Geometrie.

Die Elementargeometrie untersucht geometrische Objekte wie Punkte, Geraden, Dreiecke, Vierecke und Kreise ohne Zuhilfenahme von Methoden aus der linearen Algebra oder Analysis. Ausgehend von Grundbegriffen wie Punkte und Geraden werden Strecken, Winkel und ebene Figuren definiert.

Was ist die analytische Geometrie?

Die analytische Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie. Das algebraische Hilfsmittel (vor allem aus der linearen Algebra) zur Lösung geometrischer Probleme bereitstellt. Sie ermöglicht es in vielen Fällen, geometrische Aufgabenstellungen rein rechnerisch zu lösen, ohne die Anschauung zu Hilfe zu nehmen.

Demgegenüber bezeichnet man die Geometrie, die ihre Sätze ohne Bezug zu einem Zahlensystem auf einer axiomatischen Grundlage begründet, als synthetische Geometrie.

Die Verfahren der analytischen Geometrie werden in allen Naturwissenschaften angewendet. Vor allem aber in der Physik, wie zum Beispiel bei der Beschreibung von Planetenbahnen. Ursprünglich befasste sich die analytische Geometrie nur mit Fragestellungen der ebenen und der räumlichen (euklidischen) Geometrie. Im allgemeinen Sinn jedoch beschreibt die analytische Geometrie affine Räume beliebiger Dimension über beliebigen Körpern.

Entscheidendes Hilfsmittel der analytischen Geometrie ist ein Koordinatensystem. In der Praxis verwendet man meist ein kartesisches Koordinatensystem. Für manche einfache Fragestellungen, etwa die Bestimmung von Geradenschnittpunkten, die Untersuchung von Geraden auf Parallelität oder die Berechnung von Teilverhältnissen, würde allerdings schon ein schiefwinkliges Koordinatensystem ausreichen. Unverzichtbar ist ein kartesisches Koordinatensystem, wenn man Abstände oder Winkel berechnen soll.

Biegung in der technischen Mechanik

Als Biegung wird in der technischen Mechanik eine mechanische Veränderung der Geometrie von schlanken Bauteilen, wie Balken oder Bögen oder von dünnen Bauteilen, wie Schalen oder Platten bezeichnet. Typisch für Biegung sind Krümmungsänderungen der Mittellinie oder -fläche gegenüber der Krümmung. Die das Bauteil im unbeanspruchten Zustand durch statische und dynamische Beanspruchungen erfährt. Derartige Krümmungen führen zu Biegemomenten und somit zu Biegespannungen.

Durch Dimensionsreduktion des ursprünglichen 3D-Problems wird die Beschreibung der Geometrieveränderung angenähert:

  • im Falle von Balken oder Bögen durch eine 1D-Theorie
  • im Falle von Schalen oder Platten durch eine 2D-Theorie.

Mit Bestimmung der Biegeverformung lässt sich unter Verwendung der kinematischen Gesetzmäßigkeiten der jeweiligen Biegetheorien der Deformations- und Spannungszustand in jedem Punkt des Bauteils berechnen.

Welche Biegung gibt es?

Es werden zwei Arten der Biegung aufgrund der Art der Belastung voneinander unterschieden. 

Bei der reinen Biegung erfolgt die Biegung des Bauteils durch das Aufbringen von zwei Biegemomenten am Ende des Bauteils.

Bei der Querkraftbiegung erfolgt die Biegung des Bauteils durch Kräfte, welche als Querkräfte auf den Balken wirken. Dabei entsteht ein Biegemoment (wie bei der reinen Biegung). Und zusätzlich dazu eine Querkraft, welche zu Schubspannungen im Bauteil führen. Diese zusätzliche Querkraft wird bei der Berechnung berücksichtigt.

Belastet man lange, dünne Bauteile quer zur Bauteilachse mit einem Biegemoment, entstehen →Zug- und Druckspannungen. Bei einem Balken führt dies zu einer Durchbiegung. 

Eine Biegespannung ist derjenige Spannungsanteil in einer Wandung oder einem Querschnitt. Dieser ist linear über die Wanddicke oder den betrachteten Querschnitt. Das ist der Anteil, der über den betrachteten Querschnitt proportional zum Abstand von der neutralen Achse verteilt ist.

Wo tritt die maximale Biegespannung auf?

Die in einer Querschnitts-Fläche des Balkens aufsummierte Biegespannung ist dem Biegemoment an dieser Stelle proportional. Im Querschnitt verläuft sie von maximaler Druck- am inneren Rand  über der neutralen Zone zu maximaler Zugspannung am äußeren Rand.

Das axiale Widerstandsmoment ist ein Maß für den Widerstand gegen Durchbiegung. Deshalb wird es oft auch als Biegewiderstandsmoment bezeichnet. Für die Größe des Widerstandsmomentes ist allein die Geometrie der jeweils betrachteten Bauteil-Querschnittsfläche ausschlaggebend.

Zur Berechnung des Widerstandsmomentes ist die Definition der exakten Lage der →neutralen Faser innerhalb des Querschnittes Grundvoraussetzung. Die neutrale Faser verläuft exakt durch den Schwerpunkt des Querschnitts. Ausgehend von dieser Linie lässt sich dann der größtmöglichen Abstand zur Außenkante (Randfaser) ermitteln, Dort sind die höchsten Bauteilbelastungen bzw. die größten Spannungen zu erwarten.

 

Was ist der Einheitskreis?

In der Mathematik ist der Einheitskreis jener Kreis, dessen Radius die Länge 1 hat und dessen Mittelpunkt mit dem Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems der Ebene übereinstimmt.

Der Begriff Einheitskreis enthält die zwei Bestandteile Einheit und Kreis. Mit Kreis ist seine geometrische Form gemeint. Das heißt, es handelt sich um einen Kreis. Die Bezeichnung Einheit bezieht sich auf die Beobachtung, dass wenn du irgendeinen Punkt entlang des Kreisrandes nimmst. Dann wird dieser Punkt einen Abstand zum Mittelpunkt des Kreises von exakt 1 besitzen. Sehr oft ist der Mittelpunkt des Einheitskreises mit dem Ursprung eines Koordinatensystems identisch.

Für was brauche ich den Einheitskreis?

Mit Hilfe des Einheitskreises kannst du die Definition der Winkelfunktionen  Sinus, Cosinus und Tangens auf alle Winkel erweitern. Zusätzlich erlaubt er dir die charakteristischen Kurven dieser Winkelfunktionen zu konstruieren.

Allgemein ist der Rand eines →Kreises um den Ursprung mit Radius R definiert als die Sammlung aller Punkte P , die zum Ursprung den Abstand R besitzen.

Ein Kreis, dessen Radius die Länge R = 1 LE (Längeneinheit) hat, ist ein Einheitskreis. Ein Winkel im Einheitskreis hat seinen Scheitelpunkt im Ursprung. Seine Schenkel sind die positive x-Achse und der Radius R.

Mit dem Einheitskreis Kosinus und Sinus erklären

Im Einheitskreis kann man die Werte von Cosinus und Sinus direkt ablesen, da die Hypotenuse (R) gleich 1 ist. Somit ist dann die Länge der Ankathete gleich dem Cosinus und die Länge der Gegenkathete ist gleich dem Sinus. Es wird ja schließlich bei beiden durch die Hypotenuse geteilt, da diese beim Einheitskreis immer 1 ist, ist die Ankathete gleich dem Cosinus und die Gegenkathete gleich dem Sinus. Wie du dann siehst, ist der Cosinus maximal bei einem Winkel von 0° und 180° und minimal bei einem Winkel von 90° und 270°.

Der Kosinus- und Sinussatz  ist einer der fundamentalen Lehrsätze der Geometrie und dem Gebiet der →Trigonometrie zugehörig. Er ist sehr eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras. Für ebene Dreiecke (in der Ebene) ist der Kosinussatz sehr einfach zu formulieren, für sphärische benötigt er sechs Winkelfunktionen. In beiden Fällen beinhaltet er drei Identitätsgleichungen, welche die Beziehungen zwischen den Längen der Seiten von Dreiecken und den Kosinuswerten ihrer Winkel darstellen.

Kugel – Berechnung der Oberfläche und Volumen

Die Kugelfläche ist die bei der Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entstehende Fläche. Sie ist eine Rotationsfläche sowie eine spezielle Fläche zweiter Ordnung und wird beschrieben als die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl r ist. Der feste Punkt wird als Mittelpunkt oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl r als Radius der Kugel.

Die Kugelfläche teilt den Raum in zwei getrennte offene Untermengen, von denen genau eine konvex ist. Diese Menge heißt das Innere von Kugeln. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren heißt Kugelkörper oder Vollkugel. Die Kugelfläche wird auch Kugeloberfläche oder Sphäre genannt.

Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugeln bezeichnet, wobei aus dem Zusammenhang klar sein muss, welche der beiden Bedeutungen gemeint ist.

Kugeln besitzen unendlich viele Symmetrieebenen, nämlich die Ebenen durch den Kugelmittelpunkt. Ferner sind Kugeln drehsymmetrisch bezüglich jeder Achse durch den Mittelpunkt und jedes Drehwinkels und punktsymmetrisch bezüglich ihres Mittelpunktes.

Was ist eine Kugel?

Kugeln besitzen weder Kanten noch Ecken. Ihre Oberfläche lässt sich nicht verzerrungsfrei in der Ebene ausbreiten. In der Differentialgeometrie hat eine Kugel mit Radius r an jedem Punkt der Oberfläche die gaußsche Krümmung. Auch hieraus folgt, dass die Kugel nicht verzerrungsfrei auf die Ebene abgebildet werden kann.

Die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten auf der Oberfläche der Kugel (Geodäte) liegt auf einem Großkreis, also einem Kreis durch den Mittelpunkt der Kugel. Geodäten auf der Erdkugel liegen zum Beispiel auf den Längenkreisen, nicht aber auf den Breitenkreisen – mit Ausnahme des Äquators.

Kugeln haben die kleinste Oberfläche von allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von allen Körpern mit vorgegebener Oberfläche umschließt sie das größte Volumen. Aus diesem Grund tritt die Kugel auch in der Natur auf. Blasen (siehe Seifenblase) und Wassertropfen sind Kugeln (ohne Berücksichtigung der Gravitation), weil die Oberflächenspannung versucht, die Oberfläche zu minimieren. Planeten sind näherungsweise Kugeln, weil sie bei ihrer Entstehung flüssig waren und die Kugeln die Form mit der größten Gravitationsbindungsenergie sind. Mathematische Kugeln sind eine Idealform. In der Natur auftretende Kugeln haben stets nur näherungsweise Kugelform.

Kugeln kannst du auch als Rotationskörper aufgefassen. Lässt man eine Halbkreisfläche um ihren Durchmesser rotieren, so entsteht dadurch eine Kugel. Wird der Kreis durch eine Ellipse ersetzt, die um eine ihrer Achsen rotiert, ergibt sich ein Rotationsellipsoid.

Die Eulergleichung bei elastischer Knickung

Ist bei der Beanspruchung auf Druck der Stab sehr schlank, dann besteht die Gefahr des seitlichen Ausknickens. Ebenfalls besteht die Gefahr der Knickung, wenn die Stablänge l im Verhältnis zu seiner Querschnittsfläche A sehr groß ist. Das kann geschehen, obwohl der Stab genau in Richtung seiner Achse belastet wird. Und obwohl die Druckspannung noch unter der Proportionalitätsgrenze liegt. 

Die Tragfähigkeit ist also schon vorher erschöpft. Knickung ist daher auch kein Spannungsproblem wie Zug, Druck, Biegung und Torsion, sondern ein Stabilitätsproblem. Trotz gleicher Querschnittsfläche und gleicher Druckkraft steigt die Gefahr des Ausknickens mit zunehmender Länge. 

Die besondere Problematik der Knickung hat zur Definition besonderer Größen geführt. Die Knickkraft ist diejenige Kraft, bei der das Ausknicken eines Stabes gerade beginnt. Dividierst du die Knickkraft durch die Querschnittsfläche, erhältst du eine Spannung. Diese bezeichnet man als Knickspannung. Entsprechend der Definition der Knickkraft wirkt die Knickspannung dann, wenn der Stab auszuknicken beginnt. 

Da ein Bauteil nicht ausknicken darf, ist dafür zu sorgen, dass die tatsächliche Belastung, die Druckkraft, immer wesentlich kleiner bleibt als die Knickkraft. Das gleiche gilt auch für die tatsächlich im Bauteil vorhandene Druckspannung und für die Knickspannung. Knickkraft und Knickspannung sind also Größen, die niemals erreicht werden dürfen. 

Die Knickkraft (Knickspannung) ist diejenige Kraft (Spannung), bei der das Ausknicken beginnt. Die vorhandene Druckkraft muss mit Sicherheit unter der Knickkraft bleiben, ebenso die vorhandene Druckspannung unter der Knickspannung. 

Die Eulergleichung bei elastischer Knickung

Für den Fall, dass die Knickspannung noch unterhalb der Proportionalitätsgrenz des Werkstoffes liegt, hat Euler eine Gleichung für die Knickkraft entwickelt. 

Die Knickkraft, also diejenige Kraft, bei der das Knicken gerade beginnen würde, kann man allein durch die Führungsverhältnisse verändern. Und zwar dann, wenn sich die Stabenden in Richtung der Stabachse aufeinander zu bewegen. Je sicherer es ist, dass die Druckkraft während des Zusammendrückens exakt in der Stabachse wirkt, desto größer kann die Knickkraft angesetzt werden. 

Je höher die Proportionalitätsgrenze des Werkstoffes liegt, umso kleiner ist der Grenzschlankheitsgrad, das heißt, umso größer wird der Bereich, für den die Eulergleichung gilt. 

Die Eulergleichung gilt nur, solange der errechnete Schlankheitsgrad gleich oder größer ist als der angegebene Grenzschlankheitsgrad.

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